函数的单调性与导数

§1．3．1函数的单调性与导数（1课时）【学情分析】：高一学过了函数的单调性，在引入导数概念与几何意义后，发现导数是描述函数在某一点的瞬时变化率。在此基础上，我们发现导数与函数的增减性以及增减的快慢都有很紧密的联系。本节内容就是通过对函数导数计算，来判定可导函数增减性。【教学目标】：（1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；（2）掌握利用导数判断函数单调性的方法奎屯王新敞新疆（3）能够利用导数解释实际问题中的函数单调性【教学重点】：利用导数判断函数单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图情景引入过程从高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数：2()4.96.510httt分析运动动员的运动过程：上升→最高点→下降运动员瞬时速度变换过程：减速→0→加速从实际问题中物理量入手学生容易接受实际意义向函数意义过渡从函数的角度分析上述过程：()ht先增后减'()ht由正数减小到0，再由0减小到负数将实际的量与函数及其导数意义联系起来，过渡自然，突破理解障碍引出函数单调性与导数正负的关系通过上述实际例子的分析，联想观察其他函数的单调性与其导数正负的关系进一步的函数单调性与导数正负验证，加深两者之间的关系解：各函数的图象大概如下：（1）'()10fx增函数（2）0'()2x0fx(-，)减函数(0'()2x0fx，+)增函数（3）200'()3x0fx(-,)(,+)增函数（4）210'()0fxx(-，)减函数21'()0fxx(0，+)减函数如图，导数'0()fx表示函数()fx在点00(,)xy处的切线的斜率．在0xx处，'0()0fx，切线是“左下右上”式的，这时，函数()fx在0x附近单调递增；在1xx处，'1()0fx，切线是“左上右下”式的，这时，函数()fx在1x附近单调递减．我们能否得出以下结论：在某个区间（a,b）内，如果'()0fx，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果'()0fx，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减答案是肯定的从导数的概念给出解释0'()0fx表明函数在此点处的切线斜率是由左下向右上，因此在0x附近单调递增0'()0fx表明函数在此点处的切线斜率是由左上向右下，因此在0x附近单调递减000000()()()()'()0lim00xxfxfxfxfxfxxxxx所以，若0xx，则0()()fxfx，f(x)为增函数用导数的几何意义理解导数正负与单调性的内在关系，帮助理解与记忆xyO0x1x同理可说明0'()0fx时，f(x)为减函数导数正负与函数单调性总结函数的单调性与导数的关系：在某个区间(,)ab内，如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递增；如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内是常函数．注意：求解函数()yfx单调区间的步骤：（1）确定函数()yfx的定义域；（2）求导数''()yfx；（3）解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为减区间．抽象概括我们的心法手册（用以指导我们拆解题目）例题精讲1、根据导数正负判断函数单调性例1．已知导函数'()fx的下列信息：当14x时，'()0fx；当4x，或1x时，'()0fx；当4x，或1x时，'()0fx试画出函数()yfx图像的大致形状．解：当14x时，'()0fx，可知()yfx在此区间内单调递增；当4x，或1x时，'()0fx；可知()yfx在此区间内单调递减；当4x，或1x时，'()0fx，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()yfx图像的大致形状如图3.3-4所示．教材例1在教学环节中的处理方式：以学生的自学为主，可以更改部分数据，让学生动手模仿。小结：导数的正负→函数的增减→构建函数大致形状提醒学生观察'()0fx的点的图像特点（为下节埋下伏笔）丢出思考题：“'()0fx”的点是否一定对应函数的最值（由于学生尚未解除“极例题处理的目标就是为达到将“死结论”变成“活套路”值”的概念，暂时还是以最值代替）2、利用导数判断函数单调性以及计算求函数单调区间例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3fxxx；（2）2()23fxxx（3）()sin(0,)fxxxx；（4）32()23241fxxxx解：（1）因为3()3fxxx，所以，'22()333(1)0fxxx因此，3()3fxxx在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23fxxx，所以，'()2221fxxx当'()0fx，即1x时，函数2()23fxxx单调递增；当'()0fx，即1x时，函数2()23fxxx单调递减；函数2()23fxxx的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin(0,)fxxxx，所以，'()cos10fxx因此，函数()sinfxxx在(0,)单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241fxxxx，所以．当'()0fx，即时，函数2()23fxxx；当'()0fx，即时，函数2()23fxxx；函数32()23241fxxxx的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练教材例2在教学环节中的处理方式：可以先以3()3fxxx为例回顾我们高一判断函数单调性的定义法；再与我们导数方法形成对比，体会导数方法的优越性。引导学生逐步贯彻落实我们之前准备的“心法手册”判断单调性→计算导数大小→能否判断导数正负→Y，得出函数单调性；→N，求“导数大于（小于）0”的不等式的解集→得出单调区间补充例题：已知函数y=x+x1，试讨论出此函数的单调区间.解：y′=(x+x1)′=1－1·x－2=222)1)(1(1xxxxx令2)1)(1(xxx＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令2)1)(1(xxx＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)奎屯王新敞新疆要求根据函数单调性画此函数的草图3、实际问题中利用导数意义判断函数图像例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：1,2,3,4BADC思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．-22-11fx=x+1xxOy如图6所示，函数()yfx在0,b或,0a内的图像“陡峭”，在,b或,a内的图像“平缓”．教材例3的处理方式：可以根据课程进度作为课堂练习处理同时还可以引入类似的练习补充（如学生上学路上，距离学校的路程与时间的函数图像）堂上练习教材练习2——由函数图像写函数导数的正负性教材练习1——判断函数单调性，计算单调区间针对教材的三个例题作知识强化练习提升例1、已知函数232()4()3fxxaxxxR在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围．解：'2()422fxaxx，因为fx在区间1,1上是增函数，所以'()0fx对1,1x恒成立，即220xax对1,1x恒成立，解之得：11a所以实数a的取值范围为1,1．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0fx；若函数单调递减，则'()0fx”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例2、设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（D）内容总结体会导数在判断函数单调性方面的极大优越性体会学习导数的重要性课后练习：1、函数3yxx=+的递增区间是（）a图6yxOyxOyxOyxOA．B．C．D．A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆),0(B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆)1,(C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆),(D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆),1(答案C'2310yx=+对于任何实数都恒成立2、已知函数1)(23xaxxxf在),(上是单调函数,则实数a的取值范围是（）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆),3[]3,(B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆]3,3[C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆),3()3,(D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆)3,3(答案B'2()3210fxxax在),(恒成立，2412033aa3、函数xxy142单调递增区间是（）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆),0(B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆