函数的概念第1课时

1.2.1函数的概念（第1课时）一、知识回顾初中学习的函数概念是什么？设在一个变化过程中有两个变量x与y，20000()()()()ykxkykxbkkykxyaxbxca正比例函数：一次函数：反比例函数：二次函数：如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量。（变量间的依赖关系）实例1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t2(*)解析式炮弹飞行时间t的变化范围是数集：问题的数学意义：对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系(*)式，在数集B中都有唯一的高度h和它对应。A={t|0≤t≤26}B={h|0≤h≤845}二、实例探究炮弹距地面的高度h的变化范围是数集：实例2：近几十年来，大气中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年的变化情况：二、实例探究根据上图中的曲线可知时间t的变化范围是数集：臭氧层空洞面积S的变化范围是数集:问题数学意义：对于数集A中的任意一个时刻t，按照图中的曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.A={t|1979≤t≤2001}B={S|0≤S≤26}图象法实例3：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明，“八五”计划以来我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。请仿照实例1、2描述恩格尔系数和时间（年）的关系。A={1991,1992,2993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001}B={53.8,52.9,50.1,49.9,48.6,46.4,44.5,41.9,39.2,37.9}问题数学意义：对于数集A中的任意一个时刻t，按照表格，在数集B中都有唯一的恩格尔系数与之对应.图象法不同点共同点实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系（1）都有两个非空数集A、B问题：三个实例有什么共同点和不同点？（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系（3）对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应。实例（2）是用图象刻画变量之间的对应关系实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系（3）对于数集A中的任意一个时刻t，按照表格，在数集B中都有唯一的恩格尔系数与之对应.（1）对于数集A中的任意一个时间t，按照(*)解析式，在数集B中都有唯一的高度h和它对应。（2）对于数集A中的任意一个时刻t，按照图中的曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作:y=f(x),x∈Ax叫做自变量，x的取值范围构成的集合A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，所有函数值组成的集合叫做函数的值域。1、函数的概念：三、新课讲解C={y|y=f(x),x∈A}判断下列集合A到集合B的对应能否构成函数：1-12-22-24-4集合A集合B1-12-228集合A集合B1-12-22468集合A集合B1-12-21234集合A集合BCB值域①定义域和对应法则是否确定②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的一个函数值y和它对应。1-12-22-24-4集合A集合B1-12-21234集合A集合B定义域、对应法则、值域①定义域、对应法则、值域是决定函数的三要素，是一个整体；②值域是由定义域、对应法则唯一确定；③函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，而不是表示“y等于f与x的乘积”。三、新课讲解函数三要素：()2fxx2()fxx函数符号y=f(x)的内涵是：“对于定义域内的任意x，在对应关系f的作用下得到y”注意：一般情况下，对应关系f可用一个解析式表示，但在一些情况下，对应关系f不便或不能用解析式表示，这时，可用图象或表格等表示如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系：①定义域和对应法则是否确定②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的一个函数值y和它对应。22212345161 ()||()||()()()(),()yxyxyxyxyxfxxRyx随练、判断下列对应能否表示是的函数1、函数定义域中的每一个数都有值域中的一个数与之对应2、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应3、集合B中的每一个数都有集合A中的一个数与之对应4、函数的定义域和值域一定是无限集5、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定6、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素7、对于不同的x,y的值也不同√√√××随练请判断正误:fAB√×(0)kykx思考：反比例函数的定义域、对应关系和值域各是什么？请用上面的函数定义描述这个函数.2．常见函数的定义域和值域函数函数关系式定义域值域正比例函数y＝kx(k≠0)RR反比例函数y＝kx(k≠0){x|____}{y|y≠0}一次函数y＝kx＋b(k≠0)R___a＞0y|y≥4ac－b24a二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)Ra＜0yy≤4ac－b24ax≠0R132122333011()++,+()()()()(),().fxxxffafafa例、已知函数（）求函数的定义域求，的值；当时，求的值四、例题分析分析：函数定义域通常由问题的实际背景决定。如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指使得式子有意义的实数的集合132122333011()++,+()()()()(),().fxxxffafafa例、已知函数（）求函数的定义域求，的值；当时，求的值13020()xx解：要使函数有意义，当且仅当32xx解得且32{|}xxx所以，定义域为且13222333011()++,+()()()()(),().fxxxffafafa例、已知函数求，的值；当时，求的值四、例题分析12333132()()()()f解：2211133333233383823()f1323011()++,+()(),().fxxxafafa例、已知函数当时，求的值四、例题分析3321101132()(){|},,(),()()fxxxxaafafafaaa解：由题可得，函数的定义域为且即均有意义，111132121()()()faaaaa()()()faxafafx表示当自变量的值时的函数值，注：是一个常量.是的一个特殊值01321232(1)()(2)()(3)()(4)()+fxfxxxfxxfxxx求下列函数的定义域练习12022(){|}.xxxx解：由题意可得，函数的定义域是23033(){|}.xxxx由题意可得，函数的定义域是32022(){|}.xxxx由题意可得，函数的定义域是01232132(1)()(2)()(3)()(4)()+fxxfxxfxxfxxx求下列函数的定义域分式中分母不为0偶次根式下被开方数大于等于0零次幂的底数不为0同时使得各部分有意义304203232(){|,}.xxxxxxx由题意可得且，函数的定义域是且练习01232132(1)()(2)()(3)()(4)()+fxxfxxfxxfxxx分式中分母不为0偶次根式下被开方数大于等于0零次幂的底数不为0同时使得各部分有意义注意：①研究一个函数要在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提。②函数的定义域常常由其实际背景决定，若只给出解析式时，定义域就是使这个式子有意义的实数x的集合。练习3232212342()();();yxyxyxxyxyx例、下列函数中哪个与函数相等？；（）；（）结论：若两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致，则两个函数相等。设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作:y=f(x),x∈A1、函数的概念：2、函数三要素：定义域、对应关系、值域五、课堂小结(3)若有x0，则x≠0(5)实际问题要受到现实条件的约束，一般取使实际问题有意义的实数的集合(1)分式的分母不等于0(2)偶次根式的被开方数非负(4)如果y=f(x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)3、求函数定义域的一般方法求定义域实质就是求解使函数有意义的不等式或不等式组五、课堂小结(1)下列对应是否为A到B的函数：①A＝R，B＝{x|x0}，f：x→y＝|x|；②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.(2)(2015·甘肃兰州高一月考试题)如图所示，能够作为函数y＝f(x)的图象的有________．•函数概念的理解•[答案](1)①③不是②④是(2)①⑤•[解析](1)①A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；•②对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数；•③A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数；•④对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数．•(2)根据函数的定义，一个函数图象与垂直于x轴的直线最多有一个交点，这是通过图象判断其是否构成函数的基本方法．712()yxx判断该表达式是否能表示函数•求函数的定义域1.求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1x＋2；(2)f(x)＝3x＋2；(3)f(x)＝x＋1＋13－x.[解析](1)要使函数有意义，须使x＋2≠0，∴x≠－2，∴定义域为{x|x≠－2}；(2)要使函数有意义，须使3x＋2≥0，∴x≥－23，∴定义域为{x|x≥－23}．(3)要使函数有意义，须使x＋1≥03－x≠0，∴x≥－1且x≠3，∴定义域为：{x|x≥－1且x≠3}．•2．已知矩形的周长为1，它的面积S与矩形的一条边长x之间的函数关系为________，其定义域为________．[答案]S＝12x－x2{x|0＜x＜12}[解析]由题意得，矩形的另外一条边长为12－x，于是S＝(12－x)x＝12x－x2，其中x需满足12－x＞0，x＞0，所以0＜x＜12，所以S与x之间的函数关系中的定义域为{x|0＜x＜12}．•相等函数的判断下列各组式子是否表示相等函数？为什么？(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2；(2)y＝x2，y＝(x)2；(3)y＝x＋1·x－1，y＝x2－1；(4)y＝1＋x·1－x，y＝1－x2.[解析](1)f(x)＝|x|，φ(t)＝|t|，定义域和对应法则都相同，故是相等函数．(2)y＝x2定义域为R；y＝(x)2定义域为[0，＋∞)，故不是相等函数．(3)y＝x＋1·x－1定义域为[1，＋∞)，y＝x2－1定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故不是相等函数．(4)y＝1＋x·1－x＝1－x2，故两函数对应法则相同，又定义域都是[－1,1]，故是相等函数．•求函数值(2015·郑州一中高一月考)已知f(x)＝x21＋x2，x∈R.(1)计算f(