人教A版数学选修23全册课件第二章21离散型随机变量及其分布列

第二章2.1离散型随机变量及其分布列2突破常考题型题型一1理解教材新知题型二题型三3跨越高分障碍4应用落实体验随堂即时演练课时达标检测知识点一知识点二知识点三题型四2.1离散型随机变量及其分布列随机变量[提出问题]问题1：抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？提示：可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．问题2：在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵树为X，则X可取哪些数字？提示：X＝0,1,2,3，…，10.[导入新知]1．随机变量(1)定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着结果变化而变化的变量称为．(2)表示法：随机变量常用字母表示．2．离散型随机变量所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量．试验随机变量X，Y，ξ，η，…一一列出[化解疑难]1．随机变量是将随机试验的结果数量化，有些随机试验的结果不具有数量性质，但我们仍可以用数量表示它们．例如，掷一枚硬币，X＝1表示正面向上，X＝0表示反面向上．2．并不是所有的随机变量的取值都能一一列出，有些随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量不是离散型随机变量.离散型随机变量的分布列[提出问题]投掷一颗骰子，所得点数为X.问题1：X可取哪些数字？提示：X＝1,2,3,4,5,6.问题2：X取不同的值时，其概率分别是多少？提示：都等于16.问题3：你能用表格表示X与p的对应关系吗？提示：列表如下X123456p161616161616[导入新知]1．分布列的定义若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnP……此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的．p1p2pipn分布列2．分布列的性质(1)pi≥0，i＝1,2,3，…，n；(2)i＝1npi＝.1[化解疑难]离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能清楚地看到每一个值的概率大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础.两个特殊分布[提出问题]问题1：在妇产科医院统计一天的新生婴儿的出生情况，在性别这一方面共有几种情况？提示：两种．问题2：在含有5名男生的100名学生中，任选3人，则恰有2名男生的概率表达式为？提示：C25C195C3100.[导入新知]1．两点分布称分布列X01P__________1－pp为两点分布列．若随机变量X的分布列为，就称X服从两点分布，并称p＝为成功概率．两点分布列P(X＝1)2．超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.CkMCn－kN－MCnN为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从．称分布列X01…mP________________…________C0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnNCmMCn－mN－MCnN超几何分布[化解疑难]1．一般地，在只有两个结果的随机试验中，用0表示事件不成功，1表示事件成功，即随机变量的取值只有0,1两个，故又称为0－1分布．2．超几何分布的公式给出了求解这一类问题的方法．运用公式直接求解时重在理解实质：运用排列组合知识求出X所有可能取值的概率，即有条件的排列组合数与无条件的排列组合数的比值．离散型随机变量[例1]写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X是随机变量；(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ是一个随机变量．[解](1)随机变量X可能的取值为：0,1,2,3,4.{X＝0}，表示抽出0件次品；{X＝1}，表示抽出1件次品；{X＝2}，表示抽出2件次品；{X＝3}，表示抽出3件次品；{X＝4}，表示抽出的全是次品．(2)随机变量ξ可能的取值为：0,1,2,3.{ξ＝0}，表示取出0个白球，3个黑球；{ξ＝1}，表示取出1个白球，2个黑球；{ξ＝2}，表示取出2个白球，1个黑球；{ξ＝3}，表示取出3个白球，0个黑球．[类题通法]这类问题主要考查随机变量的概念，解答过程中要明确随机变量满足的三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值．[活学活用]判断下列各个变量是否是随机变量，若是，是否是离散型随机变量？(1)天成书业公司信息台一天接到的咨询电话个数；(2)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数；(3)某林场的树木最高达30m，在此林场中任取一棵树木的高度；(4)体积为27cm3的正方体的棱长．解：(1)接到的咨询电话的个数可能是0,1,2,3，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量，并且是离散型随机变量．(2)被抽取的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，是离散型随机变量．(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列出，不是离散型随机变量．(4)体积为27cm3的正方体的棱长为3cm，为定值，不是随机变量.[例2]设随机变量X的分布列为PX＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求PX≥35；(3)求P110X710.离散型随机变量分布列的性质[解](1)由PX＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)，可知k＝15PX＝k5＝k＝15ak＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝115.(2)由(1)可知PX＝k5＝k15(k＝1,2,3,4,5)，所以PX≥35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝315＋415＋515＝45.(3)P110X710＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝115＋215＋315＝25.[类题通法]在求解有关离散型随机变量性质的题目时，记准以下两条即可(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)i＝1npi＝1.[活学活用]若离散型随机变量X的分布列为：X01P9C2－C3－8C试求出常数C.解：由离散型随机变量的分布列性质可知：P(X＝0)＋P(X＝1)＝1，即9C2－9C＋3＝1，得C＝13或C＝23.又因为9C2－C≥0，3－8C≥0，解得19≤C≤38，所以C＝13.离散型随机变量的分布列[例3]放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球的盒子中，已知红球个数是绿球个数的2倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从中随机取出一个小球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列．[解]设黄球有n个，则由题意知绿球有2n个，红球有4n个，球的总数为7n个．X的可能取值为－1,0,1.P(X＝－1)＝2n7n＝27，P(X＝0)＝n7n＝17，P(X＝1)＝4n7n＝47.所以从该盒中取出一球所得分数X的分布列为X－101P271747[类题通法]求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；(2)利用概率的有关知识求出随机变量取每个值的概率；(3)按规范形式写出分布列．[活学活用]某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列．解：将O，A，B，AB四种血型分别编号为1,2,3,4，则X的可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝C110C145＝29，P(X＝2)＝C112C145＝415，P(X＝3)＝C18C145＝845，P(X＝4)＝C115C145＝13.故其分布列为X1234P2941584513超几何分布的应用[例4]在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．[解](1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．P(X＝1)＝C14C110＝410＝25，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－25＝35.因此X的分布列为X01P3525(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝C14C16＋C24C06C210＝3045＝23.②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y＝0)＝C04C26C210＝1545＝13，P(Y＝10)＝C13C16C210＝1845＝25，P(Y＝20)＝C23C06C210＝345＝115，P(Y＝50)＝C11C16C210＝645＝215，P(Y＝60)＝C11C13C210＝345＝115.因此随机变量Y的分布列为Y010205060P1325115215115[类题通法]解决此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布，若满足超几何分布，则建立超几何分布列的组合关系式，求出随机变量取相应值的概率；否则直接利用概率公式和计数原理求随机变量取相应值的概率．在解题中不应拘泥于某一特定的类型．[活学活用]从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回的任取3件，求取得次品数为X的分布列．解：设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，X可能的取值为0,1,2.相应的概率依次为P(X＝0)＝C02C313C315＝2235，P(X＝1)＝C12C213C315＝1235，P(X＝2)＝C22C113C315＝135.所以随机变量X的分布列为X012P223512351352.求离散型随机变量的分布列[典例](12分)口袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．[解题流程]求X的分布列就是求P(X＝k)的值由球的编号知X的取值，再根据古典概型计算概率的公式求解P(X＝k)[规范解答]随机变量X的可能取值为3,4，5,6.(2分)所以，P(X＝3)＝C33C36＝120(4分)，P(X＝4)＝C23C36＝320，(6分)P(X＝5)＝C24C36＝310(8分)，P(X＝6)＝C25C36＝12.(10分)[名师批注]从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为C36.事件“X＝4”包含的基本事件总数为C23(取出的3个球恰含有4号球和1,2,3号球中的2个)[规范解答]因此随机变量X的分布列为X3456P12032031012[活学活用]口袋中装有大小相同的红球、黑球各3个，现从中随机取出3个球，记X表示取出的红球个数，求X的分布列．解：随机变量X的可能取值为0,1,2,3.且P(X＝0)＝C03C33C36＝120，P(X＝1)＝C13C23C36＝920，P(X＝2)＝C23C13C36＝920，P(X＝3)＝C33C03C36＝120，因此随机变量X的分布列为X0123P120920920120[随堂即时演练]1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为y，则y所有可能值的个数是()A．25B．10C．7D．6解析：y的可能取值为3,4,5,6,7,8,9，共7个．答案：C2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率