人教A版数学选修23全册课件第二章23232离散型随机变量的方差

第二章2.32.3.2离散型随机变量的方差2突破常考题型题型一1理解教材新知题型二3跨越高分障碍4应用落实体验随堂即时演练课时达标检测题型三2.3离散型随机变量的均值与方差2．3.2离散型随机变量的方差[提出问题]A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10问题1：试求E(X1)、E(X2)．提示：E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.问题2：由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？提示：不能，因为E(X1)＝E(X2)．问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？提示：样本方差．[导入新知]1．定义设离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其为随机变量X的标准差．i＝1nxi－EX2pi算术平方根DX2．意义随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离平均值的平均程度．方差或标准差，则随机变量偏离于均值的平均程度．3．性质设a，b为常数，则D(aX＋b)＝．越小越小a2D(X)4．两点分布和二项分布的方差XX服从两点分布X～B(n，p)D(X)(其中p为成功概率)p(1－p)np(1－p)[化解疑难]随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随抽样样本而客观存在的；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．求离散型随机变量的方差[例1]袋中有大小相同的小球6个，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差．[解]由题意可知，X的所有可能的取值为5,4,3.P(X＝5)＝C22C14C36＝15；P(X＝4)＝C12C24C36＝35；P(X＝3)＝C34C36＝15.故X的分布列为X543P153515E(X)＝5×15＋4×35＋3×15＝4.D(X)＝(5－4)2×15＋(4－4)2×35＋(3－4)2×15＝25.[类题通法]1．离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其关键是求出分布列．2．在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件，相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算．[活学活用]编号为1,2,3的三位同学随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位同学一个座位，设与座位编号相同的学生的个数为X，求D(X)．解：由题意可知，X的所有可能的取值为0,1,3.P(X＝0)＝23！＝13；P(X＝1)＝33！＝12；P(X＝3)＝13！＝16.所以，X的分布列为X013P131216E(X)＝0×13＋1×12＋3×16＝1，D(X)＝(0－1)2×13＋(1－1)2×12＋(3－1)2×16＝1.[例2]某厂一批产品的合格率是98%，(1)计算从中抽取一件产品为正品的正品数的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．求两点分布、二项分布的方差、标准差[解](1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98，所以由D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.0196.(2)用X表示抽得的正品数，则X～B(10,0.98)，所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，标准差DX≈0.44.[类题通法]解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p(1－p)；若其服从二项分布，则其方差为np(1－p)(其中p为成功概率)．[活学活用]2．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)＝3，D(X)＝32.求n，p的值．解：由题意知，X服从二项分布B(n，p)，由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝32，得1－p＝12，∴p＝12，n＝6.离散型随机变量的均值、方差的实际应用[例3]甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．[解](1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21；由于E(ξ)E(η)，D(ξ)D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．[类题通法]数学期望体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小是不够的，比如：两个随机变量的均值相等(即数学期望相等)，这时还需要知道随机变量的取值如何在均值附近变化，即计算其方差，方差大说明随机变量取值比较分散；方差小说明随机变量的取值比较集中、稳定．[活学活用]甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：X0123P0.30.30.20.2乙保护区：Y012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．解：甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E(X)＝E(Y)，D(X)D(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．7.错用公式DaX＋b＝a2DX[典例]已知随机变量X的分布列如下表：X－2－1012P0.10.20.40.10.2且Y＝3X＋1，求E(Y)，D(Y)．[解]因为E(X)＝－2×0.1＋(－1)×0.2＋0×0.4＋1×0.1＋2×0.2＝0.1，所以E(Y)＝E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝1.3.又因为D(X)＝(－2－0.1)2×0.1＋(－1－0.1)2×0.2＋(0－0.1)2×0.4＋(1－0.1)2×0.1＋(2－0.1)2×0.2＝1.49，所以D(Y)＝D(3X＋1)＝9D(X)＝13.41.[易错防范]1．求解D(Y)时错误类比均值的关系，把D(Y)错误地求解为：D(Y)＝D(3X＋1)＝3D(X)＋1＝5.47.2．求解此类问题，学会利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，将求E(aX＋b)，D(aX＋b)的问题转化为求E(X)，D(X)的问题，从而可以避免求aX＋b的分布列的繁琐的计算，解题时可根据两者之间的关系列出等式，进行相关计算．[成功破障]已知随机变量X的分布列如下表：X01234P0.20.20.30.20.1试求D(X)和D(2X－1)．解：E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8，所以D(X)＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.所以D(2X－1)＝4D(X)＝4×1.56＝6.24.[随堂即时演练]1．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝13，k＝3,6,9.则D(X)等于()A．6B．9C．3D．4解析：E(X)＝3×13＋6×13＋9×13＝6.D(X)＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.答案：A2．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为()A．100和0.08B．20和0.4C．10和0.2D．10和0.8解析：由于ξ～B(n，p)，所以np＝8，np1－p＝1.6，解得n＝10，p＝0.8.答案：D3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X，Y，已知EX＝EY，DXDY，则自动包装机________的质量较好．解析：在均值相等的情况下，方差越小，说明包装的质量越稳定，所以自动包装机乙的质量较好．答案：乙4．已知离散型随机变量X的分布列如下表：X－1012Pabc112若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.解析：由题意a＋b＋c＋112＝1，－1×a＋0×b＋1×c＋2×112＝0，－1－02×a＋0－02×b＋1－02×c＋2－02×112＝1，解得a＝512，b＝c＝14.答案：512145．已知某运动员投篮命中率p＝0.6，(1)求一次投篮命中次数ξ的均值与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的均值与方差．解：(1)投篮一次命中次数ξ的分布列为ξ01P0.40.6则E(ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D(ξ)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.(2)由题意知，重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，即η～B(5,0.6)．由二项分布期望与方差的计算公式，有：E(η)＝5×0.6＝3，D(η)＝5×0.6×0.4＝1.2.[课时达标检测]