人教版数学选修44课件21曲线的参数方程212

参数方程第二讲•2.1曲线的参数方程2.1.2参数方程的概念与圆的参数方程栏目导航课前教材预案课堂深度拓展课后限时作业课末随堂演练•曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过__________而从参数方程得到普通方程．课前教材预案•要点一参数方程转化为普通方程消去参数•要点二普通方程转化为参数方程如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如__________，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系_________，那么x＝ft，y＝gt就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的____________保持一致．x＝f(t)y＝g(t)取值范围课堂深度拓展•考点一参数方程化为普通方程参数方程化为普通方程的技巧将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，常用的消元法有代入消元法、加减消元法．如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前做必要的变形．另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin2α＋cos2α＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，1－k21＋k22＋2k1＋k22＝1等．【例题1】(2016·华师一附中高三五月质检)将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线．(1)x＝1－3t，y＝4t(t为参数)；(2)x＝1＋4cost，y＝－2＋4sint(t为参数，0≤t≤π)；(3)x＝2＋sin2θ，y＝－1＋cos2θ(θ为参数)；(4)x＝sinθ＋cosθ，y＝sin2θ(θ为参数)．•思维导引：把普通方程化成参数方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们在解题时一定要验证普通方程与参数方程的等价性．解析：(1)由已知t＝1－x3，代入y＝4t中，得4x＋3y－4＝0，它就是所求的普通方程，它表示的是一条直线．•(2)∵0≤t≤π，－1≤cost≤1,0≤sint≤1.•∴－3≤x≤5，－2≤y≤2，•(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2t＋16sin2t＝16.•∴(x－1)2＋(y＋2)2＝16(－3≤x≤5，－2≤y≤2)，•它表示的曲线是以(1，－2)为圆心，半径为4的上半圆．•(3)由y＝－1＋cos2θ可得y＝－2sin2θ，把sin2θ＝x－2代入y＝－2sin2θ可得y＝－2(x－2)，即2x＋y－4＝0，•又∵2≤2＋sin2θ≤3，即2≤x≤3，•∴所求的方程是2x＋y－4＝0(2≤x≤3)，它表示的是一条线段．(4)由x＝sinθ＋cosθ平方得x2＝1＋2sinθ·cosθ＝1＋sin2θ，又y＝sin2θ代入上式得，x2＝1＋y，又x＝sinθ＋cosθ＝2sinθ＋π4∈[－2，2]，∴所求的普通方程为y＝x2－1(－2≤x≤2)．【变式1】分别在下列两种情况下，把参数方程x＝12et＋e－tcosθ，y＝12et－e－tsinθ化为普通方程：(1)θ为参数，t为常数；(2)t为参数，θ为常数．解析：(1)当t＝0时，y＝0，x＝cosθ，即|x|≤1，且y＝0；当t≠0时，cosθ＝x12et＋e－t，sinθ＝y12et－e－t而sin2θ＋cos2θ＝1，即x214et＋e－t2＋y214et－e－t2＝1.(2)当θ＝kπ，k∈Z时，y＝0，x＝±12(et＋e－t)，即|x|≥1，且y＝0；当θ＝kπ＋π2，k∈Z时，x＝0，y＝±12(et－e－t)，即x＝0；当θ≠kπ2，k∈Z时，得et＋e－t＝2xcosθet－e－t＝2ysinθ，即2et＝2xcosθ＋2ysinθ，2e－t＝2xcosθ－2ysinθ.得2et·2e－t＝2xcosθ＋2ysinθ2xcosθ－2ysinθ，即x2cos2θ－y2sin2θ＝1.•考点二普通方程化为参数方程•普通方程化为参数方程的注意点•(1)求曲线的参数方程，要注意参数的选取，曲线的参数很关键，既要保证曲线上每一点都能由参数某一值唯一确定，又要保证参数与x，y的关系比较明显．•(2)选取参数后要特别注意参数的取值范围，保证参数方程与普通方程的等价性．•【例题2】求方程4x2＋y2＝16的参数方程：•(1)设y＝4sinθ，θ为参数；•(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？思维导引：(1)将普通方程化为参数方程的一般方法：已知x＝ft，Fx，y＝0――→把x＝ft代入Fx，y＝0y＝φ(t)―→x＝ft，y＝φt.(2)将曲线的普通方程化为参数方程时，选取的参数不同，一条曲线的参数方程会有不同的形式．解析：(1)把y＝4sinθ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，∴x＝±2cosθ.由于参数θ的任意性，可取x＝2cosθ，因此4x2＋y2＝16的参数方程是x＝2cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)．(2)将y＝t代入椭圆方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16，则x2＝16－t24，∴x＝±16－t22.因此，椭圆4x2＋y2＝16的参数方程是x＝16－t22，y＝t和x＝－16－t22，y＝t(t为参数)．同理将x＝2t代入椭圆方程4x2＋y2＝16，得椭圆的参数方程为x＝2t，y＝41－t2和x＝2t，y＝－41－t2(t为参数)．【变式2】根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．(1)x－123＋y－225＝1，x＝3cosθ＋1.(θ为参数)(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数)解析：(1)将x＝3cosθ＋1代入x－123＋y－225＝1得：y＝2＋5sinθ.∴x＝3cosθ＋1，y＝5sinθ＋2(θ为参数)，这就是所求的参数方程．(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0得：y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1.∴x＝t＋1y＝t2＋3t＋1(t为参数)，这就是所求的参数方程．•考点三两种方程间的互化及其应用【例题3】已知直线C1：x＝1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)，C2：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．•思维导引：(1)将参数方程化为普通方程，解方程组求交点．•(2)由C1的普通方程求出点A的坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标可得参数方程，再化为普通方程可知曲线类型．解析：(1)当α＝π3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程组y＝3x－1，x2＋y2＝1，解得C1与C2的交点为(1,0)，12，－32.(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为x＝12sin2α，y＝－12sinαcosα(α为参数)．P点轨迹的普通方程为x－142＋y2＝116.故P点轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆．【变式3】已知直线l的参数方程为x＝a－2t，y＝－4t(t为参数)，圆C的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．解析：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝|－2a|5≤4，解得－25≤a≤25.故a的取值范围是[－25，25]．•考点四参数方程的综合应用【例题4】已知曲线C1：x＝－4＋cost，y＝3＋sint(t为参数)，C2：x＝8cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线x－2y－7＝0距离的最小值．思维导引：先把题目条件中的参数方程转化为普通方程，然后根据普通方程解决问题．解析：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：x264＋y29＝1.C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝π2时，P(－4,4)，Q(8cosθ，3sinθ)，故M－2＋4cosθ，2＋32sinθ.M到直线的距离d＝55|4cosθ－3sinθ－13|＝55|5sin(φ－θ)－13|φ为锐角且tanφ＝43.从而当sin(φ－θ)＝1时，d取得最小值855.【变式4】(2016·重庆高二调研)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2sinα＋π4，y＝sin2α＋1(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝4ρsinθ－3.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)求曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值．解析：(1)x2＝2sinα＋π42＝(sinα＋cosα)2＝sin2α＋1＝y，所以C1的普通方程为y＝x2.将ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y代入C2的方程得x2＋y2＝4y－3，所以C2的直角坐标方程为x2＋y2－4y＋3＝0.(2)C2：x2＋(y－2)2＝1，它的圆心为C(0,2)，半径为1.设P(x0，y0)为C1上任意一点，则y0＝x20，从而|PC|2＝(x0－0)2＋(y0－2)2＝x20＋(x20－2)2＝x40－3x20＋4＝x20－322＋74，所以当x20＝32时，|PC|min＝72，故曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值为72－1.课末随堂演练课后限时作业制作者：状元桥适用对象：高二学生制作软件：Powerpoint2003、Photoshopcs3运行环境：WindowsXP以上操作系统