人教版数学选修44课件24渐开线与摆线

参数方程第二讲•2.4渐开线与摆线•2.1曲线的参数方程•2.1.1参数方程的概念与圆的参数方程栏目导航课前教材预案课堂深度拓展课后限时作业课末随堂演练课前教材预案•要点一渐开线以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆的渐开线的参数方程为x＝rcosφ＋φsinφ，y＝rsinφ－φcosφ(φ为参数)．•要点二摆线在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为：x＝rφ－sinφ，y＝r1－cosφ(φ为参数)．课堂深度拓展•考点一渐开线•用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的步骤•(1)建立合适的坐标系，设出曲线上的动点P的坐标；•(2)取定运动中产生的某一角度为参数；•(3)用三角及几何知识写出相关向量的坐标表达式；•(4)用向量运算得到向量OP的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．•思维导引：本题考查对渐开线参数方程的理解．【例题1】给出圆的渐开线方程x＝3cosφ＋3φsinφ，y＝3sinφ－3φcosφ(φ为参数)．根据参数方程可以看出该渐开线的基圆的半径是____，当参数φ取π2时，对应的曲线上点的坐标是_______.33π2，3解析：圆的渐开线的参数方程x＝rcosφ＋φsinφ，y＝rsinφ－φcosφ(φ为参数)，由圆的半径唯一确定，从方程中不难看出，基圆的半径为3，欲求φ＝π2时对应的坐标，只需把φ＝π2代入曲线的参数方程可得x＝3π2，y＝3，所以参数φ取π2时，对应的曲线上点的坐标是3π2，3.•【变式1】求半径为4的圆的渐开线的参数方程．解析：以圆心与原点O，绳端点的初始位置为M0，向量OM0―→的方向为x轴正方向，建立直角坐标系，设渐开线上的任一点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧AM0︵的长和线段AM的长相等，记OA―→和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM|＝AM0︵＝4θ.作AB垂直于x轴，过M点作直线AB的垂线，由三角函数和向量知识，得OA―→＝(4cosθ，4sinθ)，由几何知识知∠MAB＝θ，AM―→＝(4θsinθ，－4θcosθ)，得OM―→＝OA―→＋AM―→＝(4cosθ＋4θsinθ，4sinθ－4θcosθ)＝(4(cosθ＋θsinθ)，4(sinθ－θcosθ))．又OM―→＝(x，y)，因此有x＝4cosθ＋θsinθ，y＝4sinθ－θcosθ，这就是所求圆的渐开线的参数方程．•考点二摆线•假设圆周上定点M的起始位置是圆与定直线的切点O，圆保持与定直线相切向右滚动，点M就绕圆心B做圆周运动．如果点M绕圆心B转过φ弧度后，圆与直线相切于点A，那么线段OA的长度等于弧AM的长，即OA＝rφ；如果点M绕圆心B运动一周后到切点E的位置，那么OE的长恰等于圆周的长，这就是所谓的“无滑动地滚动”的意义．从上述分析可以看到，在圆沿定直线无滑动的滚动过程中，圆周上定点M的位置可以由圆心角φ唯一确定，因此以φ为参数是非常自然的．•【例题2】已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程．思维导引：根据摆线的参数方程x＝rφ－sinφ，y＝r1－cosφ(φ为参数)，只需把(2,0)代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．解析：令y＝0，可得r(1－cosφ)＝0，由于r0，所以cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝r(φ－sinφ)得x＝r(2kπ－sin2kπ)(k∈Z)．又因为x＝2，解得r＝1kπ(k∈Z)．又由实际意义r0，所以r＝1kπ(k∈N*)，所以k＝1时，r取得最大值为1π.此时摆线的参数方程为x＝1πφ－sinφ，y＝1π1－cosφ(φ为参数)．•【变式2】求半径为2的圆的摆线的参数方程(如图所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α(以弧度为单位)为参数)．解析：当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧AM︵的长相等，它们的长都等于2α，从而点B的坐标为(2α，2)．向量OB―→＝(2α，2)，向量MB―→＝(2sinα，2cosα)，BM―→＝(－2sinα，－2cosα)，因此OM―→＝OB―→＋BM―→＝(2α－2sinα，2－2cosα)＝(2(α－sinα)，2(1－cosα))．动点M的坐标为(x，y)，向量OM―→＝(x，y)，所以x＝2α－sinα，y＝21－cosα.这就是所求摆线的参数方程．•考点三渐开线、摆线的综合运用•渐开线和摆线的概念虽有相似之处，但它们的本质完全不同，渐开线的本质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹，摆线的本质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，在运用时往往因理解不透导致判断错误．•【例题3】设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．•思维导引：本题考查摆线的参数方程的求法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．解析：轨迹曲线的参数方程为x＝8t－sinty＝81－cost(0≤t≤2π)即t＝π时，即x＝8π时，y有最大值16.曲线的对称轴为x＝8π.•【变式3】如图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中弧AE，EF，FG，GH的圆心依次为B，C，D，A，则曲线AEFGH的长是()•A．3πB．4πC．5πD．6π解析：根据渐开线的定义可知弧AE的长是半径为1的圆周长的四分之一，长度是π2，继续旋转可得弧EF的长是半径为2的圆周长的四分之一，长度是π，弧FG的长是半径为3的圆周长的四分之一，长度是3π2，弧GH的长是半径为4的圆周长的四分之一，长度是2π，所以曲线AEFGH的长是5π.故选C．C课末随堂演练课后限时作业制作者：状元桥适用对象：高二学生制作软件：Powerpoint2003、Photoshopcs3运行环境：WindowsXP以上操作系统