人教版数学选修44课件模块备考方略

模块备考方略栏目导航模块知识结构模块核心素养模块题型总结模块知识结构模块题型总结•题型一直角坐标与极坐标的互化直角坐标与极坐标用互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0互相转换，把极坐标化为直角坐标后，问题就转化为我们熟悉的平面直角坐标系中的问题．高考对本知识点的考查多以选择题、填空题的形式进行，有时也以解答题的形式出现，是高考重点考查内容之一，难度不大．【考题1】在极坐标系中，直线ρcosθ－3sinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则|AB|＝____.解析：直线的直角坐标方程为x－3y－1＝0，即y＝33(x－1)，圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，圆心(1,0)在直线上，∴AB为直径，又r＝1，∴|AB|＝2.2•【考题2】在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程为__________________________.解析：将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入(x＋6)2＋y2＝25，得(ρcosθ＋6)2＋ρ2sin2θ＝25，即ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.ρ2＋12ρcosθ＋11＝0•在极坐标系中，曲线上点的坐标(ρ，θ)满足方程f(ρ，θ)＝0，这就是曲线的极坐标方程．与平面直角坐标系中通过建立曲线的方程，然后利用方程研究曲线的性质思想方法一样．高考中对曲线的极会标方程的考查，主要集中在直线的极坐标方程、圆的极坐标方程的求解方面．•题型二求曲线的极坐标方程【考题3】若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2B．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4解析：∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴y＝1－x化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρ＝1cosθ＋sinθ.∵0≤x≤1，0≤y≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.故选A．A•用参数法求动点的轨迹方程，或利用已选定的参数建立曲线的参数方程是高考重点考查的内容之一．高考对求曲线的参数方程要求不高，一般放在解答题中的第一问出现，难度不大．在解题时要明确曲线参数方程的特点，根据题意选择适当的参数，利用已知条件求得参数方程．•题型三求曲线的参数方程【考题4】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈0，π2.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．解析：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为x＝1＋cost，y＝sint(t为参数，0≤t≤π)．(2)设D(1＋cost，sint)(0≤t≤π)．由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，即tant＝3，故t＝π3.所以D的直角坐标为1＋cosπ3，sinπ3，即32，32.【考题5】(2016·河南郑州高三质检)平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1.直线l经过点P(m,0)，且倾斜角为π6，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；解析：曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，即ρ2＝2ρcosθ，所以曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为x＝m＋32t，y＝12t(t为参数)．•题型四参数方程及其应用•参数方程及其应用是高考考查的重点内容，主要考查参数方程与普通方程互化的方法与技巧，利用参数方程求解有关最值和范围等，选择题、填空题和解答题的形式都可能出现，选择题和填空题主要考查基本公式，由参数方程化普通方程，参数的几何意义等，难度较小，解答题着重考查知识的应用能力，具有较强的综合性．【考题6】(2016·河北唐山高三统考)已知直线l的参数方程为x＝－1＋tcosα，y＝1＋tsinα(t为参数)，曲线C1的参数方程为x＝2＋2cosα，y＝4＋2sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(1)若直线l的斜率为2，判断直线l与曲线C1的位置关系；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ2π)．解析：(1)l：y＝2x＋3，C1：(x－2)2＋(y－4)2＝4，由l与C1联立可得5x2－8x＋1＝0，显然Δ＝64－20＝440，所以l与C1相交．(2)C2：x2＋y2－4x＝0，由C1与C2联立可得x2＋y2－4x－8y＋16＝0，x2＋y2－4x＝0⇒x＝2，y＝2，∴C1与C2交点的极坐标为22，π4.【考题7】(2015·湖北卷)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为x＝t－1t，y＝t＋1t(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝25.解析：直线l的直角坐标方程为y－3x＝0，曲线C的普通方程为y2－x2＝4.由y－3x＝0，y2－x2＝4得x2＝12，即x＝±22，则|AB|＝1＋k2AB|xA－xB|＝1＋32×2＝25.模块核心素养•素养一设点的坐标参数化思想•对于有关圆锥曲线最值问题，可设曲线上的点的参数形式，从而将最值问题转化为三角数的值域或最值问题，并要注意参数本身的取值范围．【典例1】(2016·陕西西安高三质检)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝42.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程．(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．解析：对于曲线C1有x3＝cosαy＝sinα，则x32＋y2＝cos2α＋sin2α＝1，即C1的普通方程为x23＋y2＝1.对于曲线C2有ρsinθ＋π4＝22ρ(cosθ＋sinθ)＝42⇔ρcosθ＋ρsinθ＝8⇔x＋y－8＝0，所以C2的直角坐标方程为x＋y－8＝0.(2)显然椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上点P(3cosα，sinα)到直线x＋y－8＝0的距离为d＝|3cosα＋sinα－8|2＝2sinα＋π3－82，当sinα＋π3＝1，即α＝π6时，d取最小值为32，此时点P的坐标为32，12.【典例2】(2016·湖南东部六校联考)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：x＝m＋22ty＝22t(t是参数)．(1)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝14，试求实数m的值；(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋2y的取值范围．解析：(1)曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，由直线l的参数方程可得其普通方程为：y＝x－m，∴圆心到直线l的距离(弦心距)d＝22－1422＝22，圆心(2,0)到直线y＝x－m的距离|2－0－m|2＝22，即|m－2|＝1，∴m＝1或m＝3.(2)曲线C的方程可化为(x－2)2＋y2＝4，其参数方程为x＝2＋2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，∵M(x，y)为曲线C上任意一点，x＋2y＝2＋25sin(θ＋α)(其中tanα＝12)，∴x＋2y的取值范围是[2－25，2＋25]．•素养二建系解析法思想•几何问题可通过建立坐标系，从而将几何问题代数化，用解析法解决几何问题．•【典例3】求证：△ABC的三条高AD，BE，CF相交于一点．证明：以AB所在直线为x轴，以AB边上的高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．设A(－a,0)，B(b,0)，C(0，c)，kAC＝ca，kBC＝－cb.∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴kAD＝bc，kBE＝－ac.∴直线BE的方程为y＝－ac(x－b)①，直线AD的方程为y＝bc(x＋a)②，联立①②得y＝－acx－b，y＝bcx＋a，解得x＝0，y＝abc，同理，联立CF，AD的方程也解得x＝0，y＝abc.故三条高交于一点．•素养三模型再现的素养•建立数学模型，研究实际问题，再现模型时利用相关模型知识建模解决相应问题，例如直线参数方程中t的意义这一模型．【典例4】(2016·河南郑州模拟)平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1.直线l经过点P(m,0)，且倾斜角为π6，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．解析：(1)曲线C的直角坐标方程：(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，即ρ2＝2ρcosθ，所以曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为x＝m＋32t，y＝12t(t为参数)．(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，得t2＋(3m－3)t＋m2－2m＝0，所以t1t2＝m2－2m，由题意得|m2－2m|＝1，解得m＝1或m＝1＋2或m＝1－2.【典例5】(2016·海南海口高三质检)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3－22t，y＝5＋22t(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝25sinθ.(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)若点P坐标为(3，5)，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．解析：(1)由x＝3－22t，y＝5＋22t得直线l的普通方程为x＋y－3－5＝0.又由ρ＝25sinθ得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－25y＝0，即x2＋(y－5)2＝5.(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得3－22t2＋22t2＝5，即t2－32t＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1＋t2＝32，t1·t2＝4.又直线l过点P(3，5)，A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32.制作者：状元桥适用对象：高二学生制作软件：Powerpoint2003、Photoshopcs3运行环境：WindowsXP以上操作系统