人教版高中数学选修22课件章末高效整合3

数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估知能整合提升数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估一、复数的概念1．复数的相等两个复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，并且仅当a＝c且b＝d时，z1＝z2.特别地，当且仅当a＝b＝0时，a＋bi＝0.2．虚数单位i具有幂的周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.(n∈Z)数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估3．复数是实数的充要条件(1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R⇔b＝0；(2)z∈R⇔z＝z；(3)z∈R⇔z2≥0.4．复数是纯虚数的充要条件(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0，且b≠0；(2)z是纯虚数⇔z＋z＝0(z≠0)；(3)z是纯虚数⇔z2＜0.数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估二、复数的运算1．复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除，加、减法是对应实、虚部相加、减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意i2＝－1.2．在进行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时不总是成立的；(1)(zm)n＝zmn(m，n为分数)；(2)zm＝zn⇒m＝n(z≠1)；(3)z21＋z22＝0⇔z1＝z2＝0；(4)|z|2＝z2.数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估热点考点例析数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估复数的概念【点拨】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1)z是虚数⇔b≠0，(2)z是纯虚数⇔a＝0b≠0，(3)z是实数⇔b＝0.数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．[思维点击]本题主要考查复数的分类，由复数的概念易得解法．数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估[规范解答](1)∵一个复数是实数的充要条件是虚部为0，∴x2－3x－3＞0，①log2x－3＝0.②x－3＞0③由②得x＝4，经验证满足①③式．∴当x＝4时，z∈R.数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(2)∵一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0，∴x2－3x－3＞0，log2x－3≠0，x－3＞0.解得x＞3＋212或x3－212，x＞3且x≠4，即3＋212＜x＜4或x＞4，∴当3＋212x4或x4时，z为虚数．数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(3)∵一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0，∴log3x2－3x－3＝0，log2x－3≠0，x－3＞0解得x＝－1或x＝4，x＞3且x≠4.无解．∴复数z不可能是纯虚数．数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估1．已知复数z与(z＋2)2＋8i均为纯虚数，求复数z.解析：设z＝bi(b∈R，b≠0)，则(z＋2)2＋8i＝(2＋bi)2＋8i＝(4－b2)＋(4b＋8)i，∵(z＋2)2＋8i为纯虚数，∴4－b2＝0，且4b＋8≠0.∴b＝2.∴z＝2i.数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估【点拨】对于两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c，b＝d.(1)根据两个复数相等的定义知，在a＝c，b＝d两式中，如果有一个不成立，那么a＋bi≠c＋di.(2)复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现．把复数问题实数化处理，主要根据复数相等建立方程或方程组，通过解方程或方程组，达到解题的目的．利用复数相等的条件解题数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2b＝(a＋2z)2.[思维点击]复数问题化归为实数问题，是解决复数问题的一种重要思想方法．数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估[规范解答]∵z＝1＋i，∴az＋2bz＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.∵a，b都是实数，∴由az＋2bz＝(a＋2z)2，得a＋2b＝a2＋4a，a－2b＝4a＋2，两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0，解得a1＝－2，a2＝－4，对应得b1＝－1，b2＝2.∴所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估2．i是虚数单位，若1＋7i2－i＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是()A．－15B．－3C．3D．15解析：因为1＋7i2－i＝1＋7i2＋i2－i2＋i＝－1＋3i，所以a＝－1，b＝3，故ab＝－3.答案：B数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估【点拨】复数的运算是复数中的重要内容，是高考考查的热点，尤其是复数的乘、除法运算，其中融合着复数的模、共轭复数等概念，要求熟悉复数的四则运算法则及常用的运算技巧，高考一般以选择题或填空题的形式考查．复数的运算数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估特别提醒：记住以下结论可以提高运算速度．①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②1－i1＋i＝－i，1＋i1－i＝i；③1i＝－i.数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估计算：[思维点击]利用复数的运算法则计算．(1)2＋i1－i21－2i；(2)4＋5i5－4i1－i.数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估[规范解答](1)2＋i1－i21－2i＝2＋i－2i1－2i＝21－2i1－2i＝2.(2)4＋5i5－4i1－i＝5－4ii5－4i1－i＝i1－i＝i1＋i1－i1＋i＝i－12＝－12＋12i.数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估3．若1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝a＋bi(a，b∈R)，且z2＝1a＋bi，求z.解析：1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝－i1＋i＋i1－i＝i1＋i2－i1－i2＝－1.∴a＋bi＝－1，∴z2＝－1.∵i2＝－1，(－i)2＝－1，∴z＝±i.数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估【点拨】复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义以及复数的加减法的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法．复数的几何意义及应用数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估已知z是复数，z＋2i，z2－i均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．[思维点击]可设z＝x＋yi(x，y∈R)，利用z＋2i，z2－i是实数求z，再求a的取值范围．数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估[规范解答]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，z2－i＝x＋yi2－i＝15(x＋yi)(2＋i)＝15(2x－y)＋15(2y＋x)i.数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估由题意知y＋2＝0，152y＋x＝0，∴x＝4，y＝－2，∴z＝4－2i.∵(z＋ai)2＝[4＋(a－2)i]2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，由已知得12＋4a－a2＞0，8a－2＞0，∴2＜a＜6.∴实数a的取值范围是(2,6)．数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估4．已知点集D＝{z||z＋1＋3i|＝1，z∈C}，试求|z|的最小值和最大值．数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估解析：点集D的图象为以点C(－1，－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则|OP→|＝|z|.OC与圆C交于点A，B，则|z|的最小值是|OA|＝|OC|－1＝－12＋－32－1＝2－1＝1，即|z|min＝1，|z|的最大值是|OB|＝|OC|＋1＝2＋1＝3，即|z|max＝3.数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估1．下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估解析：①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小．②由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件．③若a＝0，则ai不是纯虚数．④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知：所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．答案：A数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估2．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解．∵(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，∴复数(2－i)2在复平面内对应点的坐标为(3，－4)，对应的点位于复平面内第四象限．答案：D数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估3．复数3＋2i2－3i－3－2i2＋3i等于()A．0B．2C．－2iD．2i数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估解析：方法一：3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝3＋2i2＋3i2－3i2＋3i－3－2i2－3i2＋3i2－3i＝13i13－－13i13＝2i.方法二：3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝3＋2i2＋3i－3－2i2－3i2－3i2＋3i＝13i＋13i13＝2i.答案：D数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估4．设a，b为实数，若复数1＋2ia＋bi＝1＋i，则()A．a＝12，b＝32B．a＝3，b＝1C．a＝32，b＝12D．a＝1，b＝3数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估解析：由1＋2ia＋bi＝1＋i，得a＋bi＝1＋2i1＋i＝1＋2i1－i1＋i1－i＝3＋i2，∴a＝32，b＝12.答案：C数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入知能整合提升热点考点例析阶段质量评估5．把复数z的共轭复数记作z，i为虚数单位．若z＝1＋i，则(1＋z)·z