人教版高中数学选修22课件第1章导数及其应用113

数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1.1.3导数的几何意义数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．2．弄清函数在x＝x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)的区别与联系．会求导函数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题1]如图，直线l1是曲线C的切线吗？l2呢？[提示1]l1不是曲线C的切线，l2是曲线C的切线．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题2]设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，当点B沿曲线趋近于A时，割线AB如何变化呢？割线AB的斜率kAB与在点A处的切线AD的斜率k之间有什么关系？[提示2]当点B沿曲线趋近于A时，割线AB趋近于确定的位置，且kAB无限趋近于切线AD的斜率k.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升导数的几何意义对于曲线y＝f(x)上的点P(x0，f(x0))和Pn(xn，f(xn))，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的____________．割线PPn的斜率是_____________.当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率．因此，函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的__________，即k＝_____________________.切线kn＝fxn－fx0xn－x0斜率klimΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．导数几何意义的理解如图，设曲线C上一点数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升P(x0，f(x0))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝fx0＋Δx－fx0x0＋Δx－x0＝fx0＋Δx－fx0Δx.当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率．因此，函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线l的斜率k，即k＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝f′(x0)．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升导函数对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝__________________.limΔx→0fx＋Δx－fxΔx数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．函数在某点处的导数与导函数的区别(1)函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数；(2)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交解析：在点(x0，f(x0))处切线斜率为0的直线与x轴平行或重合，故选B.答案：B数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为()A．(0，－2)B．(1,0)C．(0,0)D．(1,1)答案：B解析：设点M(x0，y0)，∴k＝limΔx→0x0＋Δx2＋x0＋Δx－2－x20＋x0－2Δx＝2x0＋1，令2x0＋1＝3，∴x0＝1，则y0＝0.故选B.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上，∴f(5)＝－5＋8＝3.且f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2.答案：2数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．已知曲线y＝1x.(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；(2)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)设过点A(1,0)的切线的切点坐标为a，1a，因为limΔx→0fa＋Δx－faΔx＝－1a2，所以该切线的斜率为－1a2，切线方程为y－1a＝－1a2(x－a)①将A(1,0)代入①式，得a＝12.所以所求的切线方程为y＝－4x＋4.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)设切点坐标为Px0，1x0，由(1)知，切线的斜率为k＝－1x20，则－1x20＝－13，x0＝±3.那么切点为P3，33或P′－3，－33.所以所求的切线方程为y＝－13x＋233或y＝－13x－233.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求曲线的切线方程[思路点拨]已知曲线y＝13x3，求曲线在点P(3,9)处的切线方程．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求曲线上某点(x0，y0)处切线方程的步骤：特别提醒：在求切线方程的题目中，注意题干给出的点不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定作为切点应用．求出f′x0即切线斜率↓写出切线的点斜式方程↓化简切线方程数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．求曲线y＝f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程．解析：Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2＋(Δx)3.ΔyΔx＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当Δx无限趋近于0时，3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2无限趋近于3x2＋2.即f′(x)＝3x2＋2，所以f′(1)＝5.故点P处的切线斜率为k＝5.所以点P处的切线方程为y－2＝5(x－1)．即5x－y－3＝0.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求切点坐标已知曲线y＝x2＋6的切线分别符合下列条件，求切点．(1)平行于直线y＝4x－3；(2)垂直于直线2x－y＋5＝0.[思路点拨]设出切点坐标x0，y0→求出在该点处的导数→利用所给条件建立方程→求出切点的坐标数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升设切点坐标为(x0，y0)．f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx2＋6－x2＋6Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x.∴过(x0，y0)的切线的斜率为2x0.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)∵切线与直线y＝4x－3平行，∴2x0＝4，x0＝2，y0＝x20＋6＝10，即过曲线y＝x2＋6上点(2,10)的切线与直线y＝4x－3平行．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)∵切线与直线2x－y＋5＝0垂直，∴2x0×2＝－1，得x0＝－14，y0＝9716，即过曲线y＝x2＋6上点－14，9716的切线与直线2x－y＋5＝0垂直．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求切点坐标可以按以下步骤进行：(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．在曲线y＝x2上过哪一点的切线．(1)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(2)与x轴成135°的倾斜角．解析：f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝2x.设P(x0，y0)是满足条件的点．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直．所以2x0·13＝－1，得x0＝－32，y0＝94，即P－32，94.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1，即2x0＝－1.得x0＝－12，y0＝14，即P－12，14.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升导数几何意义的实际应用“菊花”烟火是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．[思路点拨]烟花在t＝2s时的瞬时速度就是h′(2)，即曲线h(t)在点t＝2处的切线的斜率；而烟花升空后的运动状况，可以应用切线斜率的变化予以解释．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：烟花在t＝2s时的瞬时速度就是h′(2)．而ΔhΔt＝h2＋Δt－h2Δt＝－4.9－4.9Δt.所以h′(2)＝limΔt→0ΔhΔt＝limΔt→0(－4.9－4.9Δt)＝－4.9.即在t＝2s时，烟花正以4.9m/s的瞬时速度下降．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t＝1.5s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5s之间，曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度上升；在1.5s后，曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升导数的几何意义是曲线的切线的斜率．反之，在曲线上取确定的点，作曲线的切线，则可以根据切线斜率的符号及绝对值的大小来确定曲线的升降情况及升降的快慢程度．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．某斜坡在某段内的倾斜程度可以近似地用函数y＝－x2＋4x32≤x≤2来刻画，试分析该段斜坡的坡度的变化情况．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：因为ΔyΔx＝[－x＋Δx2＋4x＋Δx]－－x2＋4xΔx＝－2x·Δx＋