人教版高中数学选修22课件第2章推理与证明221

数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2．了解综合法、分析法的思考过程、特点．3．会综合运用综合法、分析法解决数学问题．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．阅读下列例题：例：若实数a，b满足a＋b＝4，证明2a＋2b≥8.证明：∵2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，又∵a＋b＝4，∴2a＋2b≥224＝8，∴2a＋2b≥8.数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题1]本题利用什么公式证明的？[提示1]基本不等式．[问题2]本题的证明顺序是什么？[提示2]从已知到结论．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．求证：3＋222＋7.证明：要证明3＋222＋7，由于3＋220,2＋70，只需证明(3＋22)2(2＋7)2，展开得11＋4611＋47，只需证明67，显然67成立．∴3＋222＋7成立．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题1]本题证明从哪里开始？[提示1]从结论开始．[问题2]证题思路是什么？[提示2]寻求上一步成立的充分条件．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．综合法的定义利用___________和某些数学_________、________、_________等，经过一系列的__________，最后推导出所要证明的__________成立，这种证明方法叫做综合法．综合法已知条件定义定理公理推理论证结论数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(P表示__________、已有的_________、__________、__________等，Q表示________________)2．综合法的框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q已知条件定义定理公理所要证明的结论数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有清晰的思路，严密的逻辑，简洁的语言．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．分析法的定义从要证明的_________，逐步寻求使它成立的_________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法结论出发充分条件2．分析法的框图表示Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．应用分析法证明问题的模式用分析法证明命题“若P，则Q”时的模式如下：为了证明命题Q为真，只需证明命题P1为真，从而有…只需证明命题P2为真，从而有……只需证明命题P为真，而已知P为真，故Q必为真．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②CD，这里②是①的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件解析：②⇒①，∴②是①的充分条件．答案：A数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．下面叙述正确的是()A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法，分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是肯定的D．综合法、分析法所用语气都是假定的解析：直接证明包括综合法和分析法．答案：A数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．将下面用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤补充完整：要证a2＋b22≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．解析：用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤为：要证a2＋b22≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案：a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥0数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．已知a，b，c，d∈R，求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．证明：∵左边＝a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋(a2d2＋b2c2)＋bbd2＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝右边，∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升综合法的应用已知a，b0，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.[思路点拨]由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．证明：证法一：∵a，b∈R＋，且a＋b＝1，∴a＋b≥2ab，∴ab≤12，∴1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4.数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升证法二：∵a，b∈R＋，∴a＋b≥2ab0，1a＋1b≥21ab0，∴(a＋b)1a＋1b≥4，又a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升证法三：∵a，b∈R＋，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2ab·ba＝4，当且仅当a＝b时，取“＝”号．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1.综合法是数学证明中最常用的一种方法，本题巧妙地应用了“1”的代换及基本不等式．2．综合法证明不等式常用“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形．3．综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)a2≥0(a∈R)．(2)(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形后a2＋b2≥2ab，a＋b22≥ab，a2＋b22≥a＋b22.(3)若a，b∈(0，＋∞)，则a＋b2≥ab，特别地ba＋ab≥2.(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)，此结论可由a2＋b2≥2ab证得，此结论是一个非常重要的不等式，很多不等式的证明都用到该结论．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：1a－11b－11c－1≥8.证明：∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，∴1a－1＝b＋ca0，1b－1＝a＋cb0，1c－1＝a＋bc0，∴1a－11b－11c－1＝b＋ca·a＋cb·a＋bc≥2bc·2ac·2ababc＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知非零向量a⊥b，求证：|a|＋|b||a－b|≤2.分析法的应用[思路点拨]本题含有绝对值符号，可用分析法证明．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升证明：∵a⊥b，∴a·b＝0.要证|a|＋|b||a－b|≤2，只需证|a|＋|b|≤2|a－b|，平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2|a·b|)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0成立，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升用分析法证明不等式时应注意的问题：(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．求证：3＋725.证明：因为3＋7和25都是正数，所以要证3＋725，只需证(3＋7)2(25)2，展开得10＋22120，只需证215，只需证2125，因为2125成立，所以3＋725成立．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知a，b，c是不全相等的正数，且0x1.求证：logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc.分析法与综合法的综合应用[思路点拨]解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数的性质转化成证明整式不等式．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升证明：要证明logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc.只需要证明logxa＋b2·b＋c2·a＋c2logx(abc)，2分由已知0x1，只需证明a＋b2·b＋c2·a＋c2abc，4分由公式a＋b2≥ab0，b＋c2≥bc0，a＋c2≥ac0.8分数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升又∵a，b，c是不全相等的正数，∴a＋b2·b＋c2·a＋c2a2b2c2＝abc.10分即a＋b2·b＋c2·a＋c2abc成立．∴logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc成立.12分数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1.“分析综合法”解决数学问题：“分析综合法”又叫混合型分析法，是同时从已知条件与结论出发，寻找其之间的联系而沟通思路的方法．在解题过程中，分析法和综合法是统一的，不能把分析法和综合法孤立起来使用，分析和综合相辅相成，有时先分析后综合，有时先综合后分析．分析综合法的方法结构如图所示：已知条件―→中间结果←―结论数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．“分析综合法”证明的步骤：在解决问题时，我们经常把综合法和分析法综合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论Q.若由Q可以推出P成立，就可证明结论成立，其证明模式可用如下框图表示：(其中Q1代表结论，P1代表要证的条件)．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究