人教版高中数学选修44课件13简单曲线的极坐标方程

三简单曲线的极坐标方程【自主预习】1.极坐标方程与平面曲线在极坐标系中,方程f(ρ,θ)=0叫做平面曲线C的极坐标方程,满足条件:(1)平面曲线C上任意一点的极坐标中___________满足方程f(ρ,θ)=0.至少有一个(2)坐标适合方程___________的点都在曲线C上.f(ρ,θ)=02.圆的极坐标方程圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)ρ=__(0≤θ2π)圆心在点(r，0)ρ=_________圆心在点(r，)ρ=________(0≤θπ)2r()222rcosθ2rsinθ圆心位置极坐标方程图形圆心在点(r，π)ρ=__________圆心在点ρ=_________(-πθ≤0)3(r)2，-2rcosθ3()22-2rsinθ3.直线的极坐标方程(ρ∈R)直线位置极坐标方程图形过极点,倾斜角为α(1)θ=___(ρ∈R)或θ=______(ρ∈R)(2)θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ≥0)απ+α直线位置极坐标方程图形过点(a,0),且与极轴垂直________=a过点且与极轴平行________=a(0θπ)22（）(a)2，，ρcosθρsinθ【即时小测】1.极坐标系中,圆心在极点,半径为2的圆的极坐标方程为()A.ρ=2B.ρ=4C.ρcosθ=1D.ρsinθ=1【解析】选A.由圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程为ρ=r,得圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程为ρ=2.2.极轴所在直线的极坐标方程为________.【解析】如图,设M(ρ,θ)是极轴所在直线上的任意一点,则θ=0(ρ∈R).答案:θ=0(ρ∈R)【知识探究】探究点曲线的极坐标方程1.在极坐标系中,点M(ρ,θ)的轨迹方程中一定同时含有ρ,θ吗?提示:不一定,如圆心在极点,半径为1的极坐标方程为ρ=1,方程中只含有ρ.2.如何求圆心为C(ρ0,θ0),半径为r的圆的极坐标方程?提示:设圆C上任意一点的极坐标为M(ρ,θ),如图,在△OCM中,由余弦定理,得|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠COM=|CM|2,即ρ2+-2ρρ0cos(θ-θ0)=r2.当O,C,M三点共线时,点M的极坐标也适合上式,所以圆心为C(ρ0,θ0),半径为r的圆的极坐标方程为ρ2+-2ρρ0cos(θ-θ0)-r2=0.2020【归纳总结】1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程在极坐标系中,由于点的极坐标的表示形式不唯一,即(ρ,θ),(ρ,θ+2π),(-ρ,θ+π),(-ρ,θ-π)都表示同一点,这与点的直角坐标具有唯一性明显不同.所以对于曲线上同一点的极坐标的多种表示形式,只要求点的极坐标中至少有一个能满足曲线的极坐标方程即可.2.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的相互转化及应用(1)与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样,以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内的曲线(含直线)的极坐标方程与直角坐标方程也可以进行互相转化.(2)较简单曲线的极坐标方程可直接求,较复杂曲线的极坐标方程可以先求直角坐标方程,然后再转化.特别提醒:极坐标方程对应曲线的形状往往不易看出,通常是先转化为直角坐标方程,然后再分析形状.类型一圆的极坐标方程【典例】在极坐标系中,已知圆C的圆心为C,半径为1,求圆C的极坐标方程.(2)6，【解题探究】求圆的极坐标方程时需要注意什么问题?提示:求圆的极坐标方程时需要检验特殊点是否适合方程.【解析】在圆C上任取一点P(ρ,θ),在△POC中,由余弦定理可得CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos∠POC,即化简可得21422cos()6，24cos()30.6当O,P,C共线时,此方程也成立,故圆C的极坐标方程为24cos()30.6【延伸探究】1.试求圆的直角坐标方程.【解析】圆心的极坐标为故直角坐标为又已知圆的半径为1,故圆的直角坐标方程为C(2)6，，(3,1)，22(x3)(y1)1.2.在极坐标系中,试求该圆上的点与点距离的最大值.5P(4,)6【解析】圆心与点的距离故圆上的点与点P的距离的最大值为C(2)6，5P(4,)622d24224cos233，231.【方法技巧】求圆的极坐标方程的步骤(1)设圆上任意一点的极坐标为M(ρ,θ).(2)在极点、圆心与M构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ,θ)=0并化简.(3)验证极点、圆心与M三点共线时,点M(ρ,θ)的极坐标也适合上述极坐标方程.【补偿训练】1.在极坐标系中,圆C过极点,且圆心的极坐标是(a0),则圆C的极坐标方程是()A.ρ=-2asinθB.ρ=2asinθC.ρ=-2acosθD.ρ=2acosθ(a)2，【解析】选B.由于圆心的极坐标是,化为直角坐标为(0,a),半径为a,故圆的直角坐标方程为x2+(y-a)2=a2,再化为极坐标方程为ρ=2asinθ.(a)2，2.(2016·西安高二检测)将极坐标方程ρ=2cosθ化成直角坐标方程为________.【解析】由ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2-2x=0.答案:x2+y2-2x=0类型二直线的极坐标方程【典例】在极坐标系中,求过点(2,π)且与极轴的倾斜角为的直线的极坐标方程.4【解题探究】求直线极坐标方程的一般方法是什么?提示:设出直线上任意一点的极坐标(ρ,θ),列出ρ,θ的关系式即可.【解析】令A(2,π),设直线上任意一点P(ρ,θ),在△OAP中,∠APO=θ-,由正弦定理得又因为点A(2,π)适合上式,故所求直线的极坐标方程为42,sin()sin44sin()2.4sin()2.4【方法技巧】关于直线的极坐标方程(1)求直线的极坐标方程的一般方法.设出直线上的任意一点(ρ,θ),利用三角形中的定理,如正弦定理、余弦定理等列出ρ,θ的关系式,即为直线的极坐标方程.(2)求直线的极坐标方程的注意事项.①当ρ≥0时,直线上的点的极角不是常量,所以直线的极坐标方程需要转化为两条射线的极坐标方程,所以直线的极坐标方程不如直线的直角坐标方程唯一且简便.②当规定了“负极径”的意义,即ρ∈R时,直线的极坐标方程就是唯一的了.【变式训练】1.(2016·铜陵高二检测)已知点P的极坐标为(1,π),求过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程.【解析】点P(1,π)的直角坐标为(-1,0),所求直线的直角坐标方程为x=-1,化为极坐标方程为ρcosθ=-1.2.在极坐标系中,求过点且与极轴平行的直线方程.【解析】点在直角坐标系下的坐标为即(0,2),所以过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y=2.即为ρsinθ=2.(2)2，(2)2，(2cos2sin)22，，类型三直线与圆的极坐标方程综合题【典例】(2016·衡阳高二检测)在极坐标系中,曲线C:ρ=2acosθ(a0),l:,C与l有且仅有一个公共点.(1)求a的值.3cos()32(2)O为极点,A,B为曲线C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.3【解题探究】(1)如何判断曲线的形状?提示:将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程判断曲线的形状.(2)如何求|OA|+|OB|的最大值?提示:利用点的极坐标以及三角函数性质求最大值.【解析】(1)由曲线C:ρ=2acosθ(a0)得ρ2=2aρcosθ,化为直角坐标方程为(x-a)2+y2=a2,直线l:得由于直线与圆有且只有一个公共点,所以d==a,解得a=1,a=-3(舍去).33cos()coscossinsin32332即，133xy0x3y30222，即，a32(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,当θ=-时,|OA|+|OB|取得最大值2.363OAOB2cos2cos()33cos3sin23cos()6则，【方法技巧】将极坐标方程化为直角坐标方程的关键因为直线和曲线是满足某种条件的点的集合,所以将极坐标方程化为直角坐标方程的公式仍然用点的极坐标化为直角坐标的公式y=ρsinθ,x=ρcosθ.【变式训练】1.(2016·衡水高二检测)在极坐标系中,点到圆ρ=-2cosθ的圆心的距离为()(2)3，22A.2B.4C.9D.799【解析】选D.点的直角坐标为(1,-),圆ρ=-2cosθ即ρ2=-2ρcosθ的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,所以点(1,-)到圆心(-1,0)的距离为.(2)3，3372.(2016·北京高考)在极坐标系中,直线ρcosθ-ρsinθ-1=0与圆ρ=2cosθ交于A,B两点,则|AB|=________.3【解析】直线ρcosθ-ρsinθ-1=0可化为x-y-1=0.圆ρ=2cosθ可化为ρ2(cos2θ+sin2θ)=2ρcosθ,x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,所以圆心(1,0),半径长为1.圆心在直线AB上,所以|AB|=2.答案:233自我纠错极坐标方程化为直角坐标方程【典例】(2016·漳州高二检测)化极坐标方程ρ2cosθ-ρ=0为直角坐标方程为()A.x2+y2=0或y=1B.x=1C.x2+y2=0或x=1D.y=1【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:出错的根本原因是忽视了ρ≥0,遗漏了ρ=0的情形.正确解答过程如下:【解析】选C.由ρ2cosθ-ρ=0,得ρ(ρcosθ-1)=0,所以ρ=0或ρcosθ-1=0,即x2+y2=0或x=1.