人教版高中数学选修44课件14柱坐标系与球坐标系简介

四柱坐标系与球坐标系简介【自主预习】1.柱坐标系如图,在柱坐标系中,ρ:_____θ:______z:___范围:ρ≥0,__≤θ____,____z____.|OQ|∠xOQQP02π-∞+∞2.球坐标系如图,在球坐标系中,r:_____φ:______θ:______范围:r≥0,__________,__________.|OP|∠zOP∠xOQ0≤φ≤π0≤θ2π3.点的空间坐标的互相转化公式设空间一点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),球坐标为(r,φ,θ),则空间直角坐标(x,y,z)转换公式柱坐标(ρ,θ,z)球坐标(r,φ,θ)ρcosθρsinθzrsinφcosθrsinφsinθrcosφ【即时小测】1.柱坐标系中,点的柱坐标化为直角坐标为()A.(2,2,3)B.(2,3,0)C.(0,2,3)D.(2,0,3)(2,,3)2【解析】选C.设点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),因为(ρ,θ,z)=(2,,3)2x2cos2xcosx0ysiny2siny22zzz3.z3，，，由，得，即，，，所以点P的直角坐标为(0,2,3).(2,,3)22.将球坐标化为直角坐标为()A.(1,,1)B.(1,,0)C.(1,0,)D.(0,,1)(2)32，，3333【解析】选D.点的球坐标(r,φ,θ)化为直角坐标为(x,y,z)=(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ),所以化为直角坐标为(2)32，，(2sincos,2sinsin,2cos)(0,3,1).32323【知识探究】探究点柱坐标系与球坐标系1.空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系中点的坐标有什么特点?提示:(1)柱坐标系与球坐标系都是以空间直角坐标系为背景,柱坐标系在平面xOy内构造平面极坐标系,球坐标系是构造点P到原点的距离|OP|=r与射线Oz构成极坐标系,且OP在平面xOy内的射影与射线Ox也构成平面极坐标系.(2)点P的直角坐标是有序实数组(x,y,z),柱坐标是含有一个极角的有序数组(ρ,θ,z),球坐标是含有两个极角的有序数组(r,φ,θ).2.要刻画空间一点的位置,就距离和角的个数来说有什么限制?提示:空间点的坐标都是三个数值,至少有一个是距离.【归纳总结】1.柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系柱坐标系和球坐标系都要定位在空间直角坐标系中,柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标,竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同;球坐标系中,则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置.2.对球坐标系的三点说明(1)在球心为O,r为半径的球中,建立球坐标系,如图,其中,|OP|=r与射线Oz构成极坐标系,且OP在平面xOy内的射影OQ与射线Ox也构成极坐标系,所以球坐标系也称为空间极坐标系.(2)球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应用,在测量实践中,球坐标P(r,φ,θ)中的角θ称为被测点P的方位角,90°-φ称为高低角.(3)在球坐标系中,方程r=r0(r0为正常数)表示球心在原点,半径为r0的球面;方程θ=θ0(0≤θ02π)表示过z轴的半平面,且与平面xOz所成的二面角为θ0;方程φ=φ0(0≤φ0≤π)表示顶点在原点,半顶角为φ0的“圆锥面”,其中心轴为z轴,当φ0=时,“圆锥面”为平面xOy;当φ0时,“圆锥面”在平面xOy上方;当φ0时,“圆锥面”在平面xOy下方.222类型一柱坐标与直角坐标的转化【典例】把点P的直角坐标(2,2,4)化为柱坐标.3【解题探究】直角坐标与柱坐标互化的依据是什么?提示:直角坐标与柱坐标互化的依据是公式xcosysinzz.，，【解析】点P的直角坐标(2,2,4)化为柱坐标解得所以点P的柱坐标为2cos,23sin,z4,4z43，，，(44).3，，3【方法技巧】点的柱坐标与直角坐标的互相转化公式设点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),(1)柱坐标化为直角坐标的公式为即柱坐标(ρ,θ,z)的直角坐标为(x,y,z)=(ρcosθ,ρsinθ,z).xcosysinzz，，，(2)直角坐标化为柱坐标的公式为即直角坐标(x,y,z)的柱坐标为其中,且θ的终边经过(x,y).22xyytanx0x，（），22(ρθz)=(x+yθz)，，，，，ytanx0x（），【变式训练】1.将点的柱坐标化为直角坐标为()A.(,1,-1)B.(,-1,-1)C.(-,1,-1)D.(-,-1,-1)5(2,,1)63333【解析】选C.因为M点的柱坐标为设点M的直角坐标为(x,y,z),所以即所以5(2,,1)6，5x2cos,65y2sin,6z1,x3,y1,z1.M311.（，，）2.将点的直角坐标(-,-3,4)化为柱坐标为________.3【解析】设点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),因为(x,y,z)=(-,-3,4),由公式且θ的终边经过点(-,-3),故θ=,322yxy23,tan3x，343所以点的直角坐标(-,-3,4)化为柱坐标为.答案:34(23,,4)34(23,,4)3类型二球坐标与直角坐标的转化【典例】已知点M的球坐标为求它的直角坐标.(1)36，，，【解题探究】球坐标与直角坐标互化的依据是什么?提示:球坐标与直角坐标互化的依据是公式xrsincos,yrsinsin,zrcos.【解析】设点M的直角坐标为(x,y,z),因为点M的球坐标为所以所以M的直角坐标为(1,,)36，331xsincosysinsinzcos,36436432，，331(,,).442【延伸探究】1.若点M的球坐标变为则它的直角坐标是什么?2(1,,)33，【解析】因为故直角坐标为23xsincos334，231ysinsinzcos33432，，331(,,).4422.求点M的柱坐标.【解析】设点M的直角坐标为(x,y,z),因为点M的球坐标为所以所以M的直角坐标为(1,,)36，331xsincosysinsinzcos,36436432，，331(,,)442，所以由0≤θ2π,得故柱坐标为2222333xy()(),4423y34tan,3x346，31(,,).262【方法技巧】点的球坐标与直角坐标的互相转化公式设点P的直角坐标为(x,y,z),球坐标为(r,φ,θ),(1)球坐标化为直角坐标的公式为xrsincosyrsinsinzrcos，，，即球坐标(r,φ,θ)的直角坐标为(x,y,z)=(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ).(2)直角坐标化为球坐标的公式为222rxyzzcos0rytanx002x，（），（，），即直角坐标(x,y,z)化为球坐标的步骤为:先求再求φ,最后求θ,将球坐标表示为(r,φ,θ).222OPrxyz，【变式训练】1.在球坐标系中,点的球坐标(2,π,0)化为直角坐标为()A.(0,0,2)B.(0,0,-2)C.(0,2,0)D.(0,-2,0)【解析】选B.点的球坐标(r,φ,θ)化为直角坐标为(x,y,z)=(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ),所以球坐标(2,π,0)化为直角坐标为(2sinπcos0,2sinπsin0,2cosπ)=(0,0,-2).2.求球坐标对应的点的直角坐标与柱坐标.【解析】因为点的球坐标为所以(2,,)63x2sincos63y2sinsin63z2cos6，，，(2,,)63，即球坐标对应的点的直角坐标是又由得即对应点的柱坐标是(2,,)6313(,,3).221cos,23sin,2z3，1,3z3，，(1,,3).3自我纠错坐标互化公式的应用【典例】求直角坐标对应的球坐标.(2,6,22)【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:出错的根本原因是判断角θ的终边所在的象限,求θ值时出错.正确解答过程如下:【解析】由(x,y,z)=,得由z=rcosφ(0≤φ≤π),得由(2,6,22)222r(2)(6)(22)4,222cos,,424得6tan3,2及θ的终边过点得故点的直角坐标化为球坐标为(2,6),5,3(2,6,22)5(4,,).43