人教版高中数学选修45课件23反证法与放缩法

三反证法与放缩法【自主预习】1.反证法(1)方法:先假设_________________,以此为出发点,结合已知条件,应用_______________________等,进行正确的推理,得到和___________(或已证明的定理、性要证的命题不成立公理、定义、定理、性质命题的条件质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明___________,我们把它称为反证法.(2)适用范围:对于那些直接证明比较困难的否定性命题,唯一性命题或含有“至多”“至少”等字句的问题,常常用反证法证明.原命题成立2.放缩法(1)方法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值_____或_____,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.(2)关键:放大(缩小)要适当.放大缩小【即时小测】1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,可把下列哪些作为条件使用()(1)结论的反设.(2)已知条件.(3)定义、公理、定理等.(4)原结论.A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(2)(3)D.(1)(2)(4)【解析】选C.根据反证法的定义可知,用反证法证明过程中,可应用(1)结论的反设.(2)已知条件.(3)定义、公理、定理等推出矛盾.2.在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内的一点,∠APB∠APC,求证:∠BAP∠CAP用反证法证明时的假设为__________________.【解析】反证法对结论的否定是全面否定,∠BAP∠CAP的对立面是∠BAP=∠CAP或∠BAP∠CAP.答案:∠BAP=∠CAP或∠BAP∠CAP.【知识探究】探究点反证法与放缩法1.用反证法证明时,导出矛盾有哪几种可能?提示:①与原命题的条件矛盾;②与假设矛盾;③与定义、公理、定理、性质矛盾;④与客观事实矛盾.2.用反证法证明命题“若p则q”时,¬q假,q即为真吗?提示:是的.在证明数学问题时,要证明的结论要么正确,要么错误,二者中居其一,¬q是q的反面,若¬q为假,则q必为真.【归纳总结】1.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设常见词语至少有一个至多有一个唯一一个不是不可能全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个或两个以上是有或存在不全不都是2.放缩法证明不等式的理论依据(1)不等式的传递性.(2)等量加不等量为不等量.(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.3.放缩法证明不等式常用的技巧(1)增项或减项.(2)在分式中增大或减小分子或分母.(3)应用重要不等式放缩,如a2+b2≥2ab,(4)利用函数的单调性等.23abababcabab()abc(a,b,c0).223，，＞类型一利用反证法证明否定性命题【典例】设0a2,0b2,0c2,求证:(2-a)·c,(2-b)·a,(2-c)·b不可能同时大于1.【解题探究】典例中待证结论的反面是什么?提示:待证结论的反面为2ac1,2ba1,2cb1,＞＞＞【证明】假设(2-a)·c1,(2-b)·a1,(2-c)·b1,则(2-a)·c·(2-b)·a·(2-c)·b1①,因为0a2,0b2,0c2,所以(2-a)·a≤=1.同理:(2-b)·b≤1,(2-c)·c≤1.22aa()2所以(2-a)·a·(2-b)·b·(2-c)·c≤1,这与①式矛盾.所以假设不成立.即:(2-a)·c,(2-b)·a,(2-c)·b不可能同时大于1.【方法技巧】1.用反证法证明的一般步骤(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立.(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾.(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.2.否定性不等式的证法及关注点当待证不等式的结论为否定性命题时,常采用反证法来证明,对结论的否定要全面不能遗漏,最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾.【变式训练】1.(2016·泰安高二检测)用反证法证明命题“如果ab,那么”时,假设的内容是()33ab＞333333333333A.abB.abC.ababD.abab成立＜成立或＜成立且＜成立【解析】选C.结论的否定是或成立.33ab＞33ab33ab＜2.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列.求证:不成等差数列.【证明】假设成等差数列,则即a+c+=4b,又三个正数a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b=.a,b,ca,b,cac2b，2acac所以a+c+2=4,即a+c-2=0,所以()2=0,所以,即a=c.从而a=b=c,这与已知中a,b,c不成等差数列矛盾,所以原假设错误,故不成等差数列.acacaca－ca=ca,b,c类型二利用反证法证明“至少”“至多”型问题【典例】已知f(x)=x2+px+q,求证:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.12【解题探究】典例(2)中待证结论的反设是什么?提示:反设是|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于.12【证明】(1)由于f(x)=x2+px+q,所以f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,则有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2,(*)12又|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2.所以|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥2与(*)矛盾,假设不成立.故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.12【延伸探究】1.若本例条件变为“a3+b3=2”,求证:a+b≤2.【证明】假设a+b2,而a2-ab+b2=但取等号的条件为a=b=0,显然不可能,所以a2-ab+b20.则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)2(a2-ab+b2),2213(ab)b024，而a3+b3=2,故a2-ab+b21.所以1+aba2+b2≥2ab.从而ab1.所以a2+b21+ab2.所以(a+b)2=a2+b2+2ab2+2ab4.而由假设a+b2,得(a+b)24,出现矛盾,故假设不成立,原结论成立,即a+b≤2.2.将典例中的条件改为“设二次函数f(x)=x2+px+1”,求证:|f(1)|,|f(-1)|中至少有一个不小于2.【证明】假设|f(1)|,|f(-1)|都小于2,则有|f(1)|+|f(-1)|4,(*)又|f(1)|+|f(-1)|≥f(1)+f(-1)=(1+p+1)+[(-1)2+(-1)p+1]=4.所以|f(1)|+|f(-1)|≥4与(*)矛盾,假设不成立.故|f(1)|,|f(-1)|中至少有一个不小于2.【方法技巧】“至多”“至少”型问题的证明方法(1)在证明中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法证明.(2)在用反证法证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当于增加了题设条件,因此在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无法推出矛盾.【变式训练】若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,求证:a,b,c中至少有一个大于零.236【证明】假设a,b,c都不大于零,则a≤0,b≤0,c≤0,所以a+b+c≤0.而a+b+c==(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,所以a+b+c0,这与a+b+c≤0矛盾.故a,b,c中至少有一个大于零.222(x2y)(y2z)(z2x)236类型三利用放缩法证明不等式【典例】求证:(n∈N+且n≥2).【解题探究】典例中如何将中的分母适当放大或缩小转化为求和的形式?提示:(n∈N+且n≥2).2231111＜1＜22n12nn…221112n2111＜＜nn1nnn1【证明】因为k(k+1)k2k(k-1),所以即(k∈N+且k≥2).分别令k=2,3,…,n得2111＜＜,kk1kkk1211111＜＜kk1kk1k22111111111＜＜1,＜＜,232234323将这些不等式相加得211111＜＜,nn1nn1n所以即(n∈N+且n≥2)成立.2221111111111,2n123nn＜＜222311111122n123nn＜＜【方法技巧】放缩法证明不等式的技巧放缩法就是将不等式的一边放大或缩小,寻找一个中间量,如将A放大成C,即AC,后证CB.常用的放缩技巧有:(1)舍掉(加进)一些项.(2)在分式中放大(缩小)分子(分母).(3)应用基本不等式进行放缩.【变式训练】已知S=(n是大于2的自然数),则有()A.S1B.2S3C.1S2D.3S4111112123123n【解析】选C.由又因为S=1.n23n1111111112＜11123123n222212k111111＜,得S123k12222112n112.2211112123n【补偿训练】已知an=4n-2n,Tn=求证:T1+T2+T3+…+Tnn12n2aaa，3.2【证明】因为a1+a2+…+an=41+42+43+…+4n-(21+22+…+2n)=(4n-1)+2(1-2n),所以Tn=nn414212414123（）（）nnnn1n1nnn1n1222444424121222233333（）（）nnnn1n1n2nnn32323243222223212(221)21（）（）nn1311.22121（）从而T1+T2+T3+…+Tn=nn131111131＜.233721212（）自我纠错用放缩法证明不等式【典例】设n为大于1的自然数,求证11111.n1n2n32n2＞【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是证明过程放缩思路错误.正确解答过程如下:【证明】1111n1n2n32n1111n1.2n2n2n2n2n2＞