人教版高中数学选修45课件31二维形式的柯西不等式

第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式【自主预习】二维形式的柯西不等式(ac+bd)2||||αβ221212(xx)(yy)【即时小测】1.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为()A.B.2C.D.3【解析】选C.3=(2x2+y2)(2+1)≥(2x+y)2,所以-≤2x+y≤.即2x+y的最大值为.233332.已知=1,则以下成立的是()A.a2+b21B.a2+b2=1C.a2+b21D.a2b2=122a1bb1a【解析】选B.由柯西不等式,得≤[a2+(1-a2)][(1-b2)+b2]=1,当且仅当时,上式取等号,所以ab=化为a2b2=(1-a2)(1-b2),于是a2+b2=1.222a1bb1a22b1ba1a221a1b，3.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为_________.【解析】由柯西不等式知(a2+b2)(m2+n2)≥(am+bn)2,又a2+b2=5,ma+nb=5,所以m2+n2≥5,所以答案:22mn22mn5.5【知识探究】探究点二维形式的的柯西不等式1.在二维形式的柯西不等式的代数形式中,取等号的条件可以写成吗?提示:不可以.当b=d=0时,等号成立,但不成立.acbdacbd2.用柯西不等式求最值时的关键是什么?提示:利用柯西不等式求最值问题,通常设法在不等式一边得到一个常数,并寻求不等式等号成立的条件.【归纳总结】1.柯西不等式三种形式的关系根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示.2.理解并记忆三种形式取“=”的条件(1)代数形式中当且仅当ad=bc时取等号.(2)向量形式中当=k或=0时取等号.(3)三角形式中当P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三点共线且P1,P2在原点O两旁时取等号.αββ3.“二维”的含义“二维”是对向量的个数来说的,在平面上一个向量有两个量:横坐标与纵坐标,因此“二维”就要有四个量,还可以认为是四个数组合成的一种不等关系.4.二维形式的柯西不等式的变式(1)≥|ac+bd|.(2)≥|ac|+|bd|.(3)≥ac+bd.22ab22ab22ab22cd22cd22cd类型一利用柯西不等式证明不等式【典例】求证:【解题探究】本例证明的关键是什么?提示:关键是根据不等式的结构特征,改变一下多项式的形态结构,达到利用柯西不等式解题的目的.22222212121122xxyyxyxy.【证明】因为=(x12+x22)+(y12+y22)+由柯西不等式,得(x12+x22)(y12+y22)≥(x1y1+x2y2)2,其中当且仅当x1y2=x2y1时,等号成立.222221212(xxyy)222212122(xx)(yy),所以≥x1y1+x2y2,所以≥(x12+x22)+(y12+y22)+2(x1y1+x2y2)=(x1+y1)2+(x2+y2)2.所以其中等号当且仅当x1y2=x2y1时成立.22221212(xx)(yy)222221212(xxyy)22222212121122xxyyxyxy.【方法技巧】利用柯西不等式的代数形式证明不等式的方法利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时,有时需要将待证不等式进行变形,以具备柯西不等式的运用条件,这种变形往往要认真分析题目的特征,根据题设条件,利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法,才能找到突破口.【变式训练】1.设a,b,c为正数,求证:++≥(a+b+c).【解题指南】根据不等式的结构,分别使用柯西不等式.22ab22bc22ca2【证明】由柯西不等式:≥a+b,即≥a+b.同理≥b+c,≥c+a.22ab221122ab222bc222ca2将上面三个同向不等式相加得(++)≥2(a+b+c),于是++≥(a+b+c).222ab22bc22ca22ab22bc22ca22.已知a1,a2,b1,b2为正实数,求证:(a1b1+a2b2)·(+)≥(a1+a2)2.【证明】(a1b1+a2b2)(+)=［()2+()2］［()2+()2]≥(·+·)2=(a1+a2)2.11ab22ab11ab22ab11ab22ab22ab11ab11ab11ab22ab22ab类型二利用柯西不等式求最值【典例】已知x,y,a,b∈R+,且=1,求x+y的最小值.abxy【解题探究】解答本例如何将x+y变形,向着柯西不等式的形式转化?提示:关键是构造两组数使得x+y=abxyxy，；，，2222abxy[()()].xy［］【解析】构造两组实数因为x,y,a,b∈R+,=1,所以x+y=[()2+()2]abxyxy，；，.abxyxy222ab[()()]ab.xy当且仅当等号成立.所以(x+y)min=(+)2.baxaxyyxyb，即时，ab【延伸探究】1.若把本例中的题设条件“a,b∈R+且=1”改为“=2”,结果如何?abxy49xy【解析】因为=2,所以x+y=当且仅当时等号成立,所以(x+y)min=.49xy2222149xy[()()]2xy［］212549,2294x2xyyxy3,即2522.把本例已知改为,试比较x2+y2与(a+b)2的大小.【解析】由已知及柯西不等式得x2+y2=(x2+y2)≥=(a+b)2.即x2+y2≥(a+b)2.2222ab1xy2222ab()xy2ab(xy)xy【方法技巧】利用二维形式的柯西不等式求最值的技巧(1)求某些解析式的最小值时,要把这个解析式看成柯西不等式的左边构造不等式.(2)求某个解析式的最大值时,要把这个解析式看成柯西不等式的右边构造不等式.在构造过程中系数的选择是关键.【变式训练】1.已知x,y∈R,且xy=1,的最小值为()A.4B.2C.1D.【解析】选A.当且仅当x=y=1等号成立.11(1)(1)xy1421111(1)(1)(11)4.xyxy2.(2015·陕西高考)已知关于x的不等式|x+a|b的解集为{x|2x4}.(1)求实数a,b的值.(2)求的最大值.at12bt【解析】(1)由|x+a|b,得-b-axb-a,则解得a=-3,b=1.ba2ba4，，222223t12t34tt314tt24tt4,［］［］当且仅当即t=1时等号成立,故4tt,13max3t12t4.【补偿训练】设a,b∈R,且a2+b2=10,求3a+b的最大值与最小值.【解题指南】3a+b是两部分和的形式,将其看作ac+bd的结构,利用柯西不等式求其最值.【解析】利用柯西不等式得,(3a+b)2=(a·3+b·1)2≤(a2+b2)(32+12)=10×10=100,即(3a+b)2≤100,所以|3a+b|≤10,-10≤3a+b≤10,当且仅当a=3b时,等号成立.又a2+b2=10,所以a2=9,b2=1.所以当a=-3,b=-1时,3a+b有最小值为-10;当a=3,b=1时,3a+b有最大值为10.类型三二维形式柯西不等式向量形式的应用【典例】设a0,b0,且a+b=1,求证:1222a1b.32【解题探究】如何构造向量,用向量形式的柯西不等式证明?提示:可构造如下向量形式:11(ab)2,1.23，，αβ【证明】令则|·|=而||=又||=,所以||||=,由|·|≤||||,得11(ab)2,123，，αβαβ12a1b.3α1111ab236，β3αβ222αβαβ1222a1b.32【延伸探究】在本例题设条件下,如何证明:(ax+by)2≤ax2+by2(其中x0,y0).【证明】设m=(x,y),n=(,),则|ax+by|=|m·n|≤|m||n|==所以(ax+by)2≤ax2+by2.abab22(ax)(by)22(a)(b)22axbyab22axby.【方法技巧】应用二维形式柯西不等式向量形式求最值及证明不等式的技巧在应用二维形式柯西不等式向量形式求式子的最值或证明不等式时要根据式子的结构特征构造两个向量,通常我们使构造的向量满足积为待求式子或待证不等式一侧的形式,再利用柯西不等式的向量形式求解或证明.【变式训练】1.已知abc,若恒成立,则k的最大值为_________.11kabbcac【解析】设a=,b=由|a·b|≤|a||b|得2≤即,当且仅当a-b=b-c即a+c=2b时,等号成立.故kmax=4.答案:411()abbc，(abbc),，11abbcabbc，114abbcac2.求函数y=的最大值及最小值.【解析】由原函数式得2sinx+(3-y)cosx=4-2y,设a=(2,3-y),b=(sinx,cosx),由|a·b|≤|a||b|得|4-2y|≤,解得≤y≤3,当且仅当时,等号成立.故最大值及最小值分别为3与.2sinx3cosx4cosx22223y1323ysinxcosx13自我纠错求函数的最值【典例】已知实数x,y满足=1,求x2+2y2的最小值.21x21y【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是构造柯西不等式的形式错误,以及忽视了等号成立的条件.【解析】由柯西不等式得x2+2y2=(x2+2y2)×1=(x2+2y2)当且仅当x2=y2时等号成立,即x2=+1,y2=+1时,x2+2y2有最小值为3+2.2221111()(x2y)xyxy22(12)322，2222