多彩课堂20152016学年高中数学人教A版选修12课件322复数的乘除运算

第四节复数代数形式的乘除运算掌握复数代数形式的乘法和除法运算．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．理解共轭复数的概念．本节重点：复数的乘除运算及共轭复数的概念．本节难点：共轭复数的求解及特殊复数的运算．对于复数的代数形式乘除法法则，不必死记硬背，乘法可按多项式类似的办法进行，除法只需记住两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子、分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．1．复数的乘法设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(a，b，c，d∈R)．(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝结合律(z1·z2)·z3＝乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1·z33.共扼复数的概念一般地，当两个复数的，虚部数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做．实部相等互为相反共轭虚数4．(a＋bi)÷(c＋di)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i，复数的除法的实质是分母实数化，分母为a＋bi型，同乘a－bi，a－bi型，同乘a＋bi.5．①(1±i)2＝±2i.②1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.③(zm)n＝zmn.④z·z＝|z|2＝|z|2.⑤z1·z2＝z1·z2.对于复数的代数形式乘除法法则，不必死记硬背，乘法可按多项式类似的办法进行，除法只需记住两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子、分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．计算：(1)i－231＋23i＋(5＋i19)－1＋i222；(2)(2＋2i)4(1－3i)5.练一练例1(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，ω3＝1[解析](1)i－231＋23i＋(5＋i19)－1＋i222＝(1＋23i)i1＋23i＋[5＋(i4)4·i2·i]－1＋i2211＝i＋5－i－i11＝5＋i；(2)令ω＝－12＋32i，则ω3＝1，于是(2＋2i)4(1－3i)5＝24(1＋i)4－25－12＋32i5＝(2i)2－2ω5＝2ωω6＝2ω＝－1＋3i.设复数z满足1＋2iz＝i，则z等于()A．－2＋iB．－2－iC．2－iD．2＋i[解析]z＝1＋2ii＝(1＋2i)(－i)i(－i)＝2－i.[答案]C变式1(2010·徐州高二检测)设P，Q是复平面上的点集，P＝z|z·z＋3i(z－z)＋5＝0}，Q＝{w|w＝2iz，z∈P}．(1)P，Q分别表示什么曲线？(2)设z1∈P，z2∈Q，求|z1－z2|的最大值与最小值．例2[分析](1)设z＝x＋yi，(x，y∈R)，即P(x，y)→代入z·z＋3i(z－z)＋5＝0→化简整理得P的轨迹方程→代入法求Q的轨迹方程(2)根据复数的几何意义→|z1－z2|的几何意义→结论[解析](1)设z＝x＋yi(x，y∈R)．则集合P＝{(x，y)|x2＋y2－6y＋5＝0}＝{(x，y)|x2＋(y－3)2＝4}，故P表示以(0,3)为圆心，2为半径的圆．设w＝a＋bi(a，b∈R)．z＝x0＋y0i∈P(x0，y0∈R)且w＝2iz.则a＝－2y0b＝2x0，将x0＝12by0＝－12a代入x20＋(y0－3)2＝4得(a＋6)2＋b2＝16.故Q表示以(－6,0)为圆心，4为半径的圆．(2)|z1－z2|表示分别在圆P，Q上的两个动点间的距离，又圆心距|PQ|＝35＞2＋4，故|z1－z2|最大值为6＋35最小值为35－6.[点评]共轭复数的性质．(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．(3)若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．计算：i＋i2＋i3＋…＋i2011.[分析]由题目可获取以下主要信息：已知虚数单位i的幂，求和．解答本题可利用等比数列求和公式化简或者利用in的周期性化简．例3[解析]方法一：原式＝i(1－i2011)1－i＝i(1－(i2)1005·i)1－i，＝i·(1＋i)1－i＝i·2i2＝－1方法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)，∴原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)…＋(i2005＋i2006＋i2007＋i2008)＋(i2009＋i2010＋i2011＋i2012)－i2012＝－i2012＝－1[点评]1.虚数单位i的周期性．①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)．n也可以推广到整数集．②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．2．记住以下结果，可提高运算速度．①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i.②1－i1＋i＝－i，1＋i1－i＝i.③1i＝－i.[解析]设S＝1＋2i＋3i2＋…＋2009i2008，则i·S＝i＋2i2＋…＋2008·i2008＋2009i2009∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2008－2009i2009＝1·(1－i2009)1－i－2009i＝1－2009i.∴S＝1－2009i1－i＝1005－1004i.计算：1＋2i＋3i2＋…＋2009·i2008..已知1＋i是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．(1)求b，c的值；(2)试说明1－i也是该方程的一个根．例4[解析](1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根，所以(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0，所以b＋c＝0，2＋b＝0，解得b＝－2，c＝2.所以b，c的值分别为－2,2.(2)由(1)知原方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，右边＝0，左边＝右边，显然方程成立，因此1－i也是原方程的一个根．注意：因为已知方程x2＋bx＋c＝0的一根是复数根，故我们需将该已知根代入方程，根据复数相等的充要条件求解．有关复数的方程问题一般有两种情况：①方程的根为复数，系数为实数，已知方程的一个复数根，求实系数．②方程的根为实数，系数为复数，求实根．3．对于实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当Δ0时，方程的根为x＝－b±－Δi2a；当Δ≥0时，方程的根为x＝－b±Δ2a，无论Δ≥0还是Δ0，根与系数的关系都成立，即x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.4．在解复系数一元二次方程时，套用实系数一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac，这种做法是毫无意义的．[误解]方程两边平方，得：x2＝4＋x2－4＋4x－8i－4xi，即4(1－i)x＝8i，所以x＝2i1－i＝－1＋i.解方程|x|＝2＋x－2i.例5[正解]可设x＝a＋bi(a，b∈R)，则a2＋b2＝2＋a＋bi－2i＝(2＋a)＋(b－2)i由复数相等可得a2＋b2＝2＋ab－2＝0解得a＝0b＝2所以方程的解为x＝2i.[辨析]在解题中用了复数范围内不成立的等式|z|2＝z2.一、选择题1．(2010·浙江文，3)设i为虚数单位，则5－i1＋i＝()A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3i[解析]本题考查了复数的除法运算．5－i1＋i＝(5－i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝4－6i2＝2－3i.[答案]C2．在复平面内，复数z＝12＋i对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]D[解析]z＝12＋i＝2－i5＝25－i5，故z对应的点位于第四象限．3．复数2(2＋i)1－2i()A．2iB．－2iC．2D．－2[答案]A[解析]2(2＋i)1－2i＝2(2＋i)(1＋2i)5＝2(2＋5i－2)5＝2i.[解析]由题意可得x－2＝3xy＝1∴x＝－1y＝1二、填空题4．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝______，y＝______.[答案]－115．如果复数z＝2－bi1＋2i(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝______[答案]－23[解析]z＝2－bi1＋2i＝(2－bi)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(2－2b)－(b＋4)i5∴2－2b＝b＋4∴b＝－23三、解答题6．计算：(2＋i)·(1＋i)2－2＋i1＋i.[解析]原式＝(2＋i))(2i)－(2＋i)(1－i)2＝4i－2－3－i2＝(－2－32)＋(4＋12)i＝－72＋92i.