数学选修45人教A版课件第一讲12121绝对值三角不等式

第一讲不等式和绝对值不等式1．2绝对值不等式1．2.1绝对值三角不等式[学习目标]1.掌握绝对值三角不等式的基本定理及其应用(重点)．2.会用绝对值三角不等式的几何意义求最值(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．定理1如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．该定理被称为绝对值三角不等式．温馨提示当ab＞0时，它们落在原点的同一边，此时a到－b的距离等于它们到原点的距离之和．2．定理2如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)设ab＞0，则|a＋b|＞|a|.()(2)设ab＞0，则|a＋b|＜|b|.()(3)设ab＞0，则|a＋b|＜|a－b|.()(4)设ab＞0，则|a＋b|＞|a－b|.()解析：因为ab＞0，所以|a＋b|＝|a|＋|b|＞|a|，故(1)正确；同理可知(2)错误；因为ab＞0，所以|a＋b|＝|a|＋|b|＞|a－b|，故(3)错误；|a＋b|＝|a|＋|b|＞|a|－|b|，故(4)正确．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．已知实数a，b满足ab＜0，则下列不等式成立的是()A．|a＋b|＞|a－b|B．|a＋b|＜|a－b|C．|a－b|＜||a|－|b||D．|a－b|＜|a|＋|b|解析：因为ab＜0，所以|a＋b|＜|a－b|.答案：B3．若a，b∈R，则以下命题正确的是()A．|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|B．|a|－|b|＜|a－b|＜|a|＋|b|C．当且仅当ab＞0时，|a＋b|＜|a－b|D．当且仅当ab≤0时，|a－b|＝|a|－|b|解析：若a＝1，b＝－1，则B、D不正确．若a＝b＝1，则C不正确，故选A.答案：A4.不等式|x－a|＋|x－b|≥|a－b|中等号成立的条件是________．解析：由定理2易知(a－x)(x－b)≥0时，等号成立．答案：(a－x)(x－b)≥05．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．解析：由定理得|a＋b|≤|a|＋|b|＝5，当且仅当ab＞0，即a＝3，b＝2或a＝－3，b＝－2时等号成立．因为|a|最小为0，|b|最小为0，故|a＋b|最小值为0.所以|a＋b|的最大值是5，最小值是0.答案：50类型1利用绝对值三角不等式证明不等式(自主研析)[典例1](1)若|a－b|＞c，|b－c|＜a，求证：c＜a；(2)设ε＞0，|x－a|＜ε4，|y－b|＜ε6.求证：|2x＋3y－2a－3b|＜ε.解：(1)由|a－b|＞c及|b－c|＜a得c－a＜|a－b|－|b－c|≤|(a－b)＋(b－c)|＝|a－c|＝|c－a|.由c－a＜|c－a|知c－a＜0，故c＜a.(2)|2x＋3y－2a－3b|＝|2(x－a)＋3(y－b)|≤|2(x－a)|＋|3(y－b)|＝2|x－a|＋3|y－b|＜2×ε4＋3×ε6＝ε.归纳升华1．用三角不等式放缩，主要用在含有绝对值的表达式中．由于它有|a±b|，|a|＋|b|，±(|a|－|b|)，||a|－|b||多种结构形式，因此，应在熟练的基础上，灵活应用．2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度．[变式训练]设A、ε0，|x－a|ε2，|y－b|ε2，|b|≤A，|x|≤A，求证：|xy－ab|Aε.证明：|xy－ab|＝|xy－bx＋bx－ab|＝|x(y－b)＋b(x－a)|≤|x(y－b)|＋|b(x－a)|≤|x||y－b|＋|b||x－a|A·ε2＋A·ε2＝Aε.所以有|xy－ab|Aε.类型2利用绝对值三角不等式求最值(互动探究)[典例2]求函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值．解：y＝|x＋1|＋|x－2|＝|x＋1|＋|2－x|≥|x＋1＋2－x|＝3，所以y≥3.所以函数的最小值为y＝3，此时(x＋1)(2－x)≥0，即－1≤x≤2.所以－1≤x≤2时，函数的最小值为3.[迁移探究](变换条件，改变问法)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a，求a的值．解：因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值为a＝3.归纳升华1．利用绝对值三角不等式求函数y＝|f(x)|＋|g(x)|的最小值，可利用|f(x)|＋|g(x)|≥|f(x)＋g(x)|或|f(x)＋g(x)|≥|f(x)－g(x)|来求解，选择依据是看用哪个能消去变量x.此外，也可求y＝|f(x)|－|g(x)|的最大值．2．求不等式恒有解时参数的取值范围，其原理是：若函数f(x)在D上存在最大值f(x)max[或最小值f(x)min]，则对一切x∈D，不等式f(x)＜A[或f(x)＞B]恒成立，当且仅当f(x)max＜A[或f(x)min＞B]．1．在掌握本节知识过程中，要充分认识和理解绝对值的意义和性质：设a∈R，则|a|＝a，a≥0，－a，a＜0.|a|≥0，－|a|≤a≤|a|，|a|2＝a2.2．绝对值不等式的性质定理的推广：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3|；|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|；||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.3．在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时，一定要注意等号成立的条件：|a＋b|＝|a|＋|b|(ab≥0)；|a－b|＝|a|＋|b|(ab≤0)；||a|＋|b||＝|a－b|(ab≤0)；||a|－|b||＝|a－b|(ab≥0)．