数学选修45人教A版课件第三讲3132一般形式的柯西不等式

第三讲柯西不等式与排序不等式3．1二维形式的柯西不等式3．2一般形式的柯西不等式[学习目标]1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义．2.通过对二维柯西不等式多种形式的证明，掌握它们之间的关系，进一步理解柯西不等式的意义(重点)．3.认识柯西不等式的一般形式，理解它的几何意义，能利用柯西不等式解决问题(重点、难点)．4.经历由二维形式的柯西不等式向n维形式的柯西不等式的类比过程，发现柯西不等式的实质(难点)．[知识提炼·梳理]1．定理1(二维形式的柯西不等式)若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．2．定理2(柯西不等式的向量形式)设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．3．定理3(二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.当且仅当存在非负实数μ及λ，使得μx1＝λy1，μx2＝λy2时，等号成立．4．一般形式的柯西不等式定理设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是实数，则_________________________________________________，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d为非负实数)，当且仅当ad＝bc时，等号成立．()(2)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d都是实数)，当且仅当ad＝bc时，等号成立．()(3)如果a21＋a22＋…＋a2n＝b21＋b22＋…＋b2n＝1，那么－1≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤1.()(4)如果ai∈R(i＝1，2，…，n)，那么a1＋a2＋…＋ann≤a21＋a22＋…＋a2nn.()解析：由定理1易知(1)(2)正确．由一般形式的柯西不等式可知：当ai，bi取特殊值时，可得(3)(4)，故(3)(4)正确．答案：(1)√(2)√(3)√(4)√2．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为()A．1B．2C.2D．4解析：因为(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，所以ax＋by≤2.答案：C3．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤12B．ab≥12C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3解析：因为(12＋12)(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，所以a2＋b2≥2.答案：C4.已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值是________．解析：2x＋y≤（2＋1）（2x2＋y2）＝3，当且仅当x＝y＝33时等号成立．答案：35．函数y＝21－x＋2x＋1的最大值为________．解析：函数的定义域为－12，1，且y＞0，y＝21－x＋2x＋12≤22＋（2）2·（1－x）＋x＋12＝6×32＝3.答案：3类型1利用柯西不等式求最值(自主研析)[典例1](1)求函数f(x)＝x－6＋12－x的最大值及此时x的值；(2)设2x＋3y＋5z＝29，求函数u＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6的最大值．解：(1)由柯西不等式得(x－6＋12－x)2≤(12＋12)[(x－6)2＋(12－x)2]＝2(x－6＋12－x)＝12，即x－6＋12－x≤23，故当x－6＝12－x，即x＝9时，函数f(x)取得最大值23.(2)由柯西不等式有：120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]≥(1·2x＋1＋1·3y＋4＋1·5z＋6)2.故2x＋1＋3y＋4＋5z＋6≤230.当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，即x＝376，y＝289，z＝2215时等号成立，此时umax＝230.归纳升华1．我们在使用柯西不等式解决问题时，往往不能直接应用，需要先对式子的形式进行变化，拼凑出与柯西不等式相似的结构，继而达到使用柯西不等式的目的，在应用柯西不等式求最值时，不但要注意等号成立的条件，而且要善于构造，技巧如下：(1)巧拆常数；(2)重新安排某些项的次序；(3)改变结构；(4)添项．2．求某些解析式的最小值时，要把这个解析式看成柯西不等式的左边构造不等式；求某个解析式的最大值时，要把这个解析式看成柯西不等式的右边构造不等式．在构造过程中系数的选择是关键，应在反复训练的基础上思考、总结，找出规律和方法，形成技能．[变式训练](1)已知函数f(x)＝（x－1）2＋1＋（x＋1）2＋1，则f(x)的最小值为________．(2)设a，b，c为正数，且a＋2b＋3c＝13，求3a＋2b＋c的最大值．(1)解析：f(x)＝（x－1）2＋1＋（x＋1）2＋1＝（x－1）2＋（0－1）2＋（x＋1）2＋（0＋1）2≥[1－（－1）]2＋[1－（－1）]2＝22.当且仅当x＝0时，等号成立．答案：(1)22(2)解：因为(a＋2b＋3c)（3）2＋12＋132≥a·3＋2b·1＋3c·132＝(3a＋2b＋c)2，所以(3a＋2b＋c)2≤13×3＋1＋13＝1323.所以3a＋2b＋c≤1333，当且仅当a3＝2b1＝3c13时，等号成立．又a＋2b＋3c＝13，所以当a＝9，b＝32，c＝13时，3a＋2b＋c的最大值是1333.类型2利用柯西不等式证明不等式[典例2](1)设a，b∈R＋，且a＋b＝2.求证：a22－a＋b22－b≥2；(2)已知a，b，c∈R＋，求证：ab＋bc＋caba＋cb＋ac≥9.证明：(1)由柯西不等式，有[(2－a)＋(2－b)]a22－a＋b22－b＝[(2－a)2＋(2－b)2]a2－a2＋b2－b2≥2－a·a2－a＋2－b·b2－b2＝(a＋b)2＝4.所以a22－a＋b22－b≥4（2－a）＋（2－b）＝2，所以原不等式成立．(2)由柯西不等式知：左边＝ab2＋bc2＋ca2·ba2＋cb2＋ac2≥ab·ba＋bc·cb＋ca·ac2＝(1＋1＋1)2＝9.所以原不等式成立．归纳升华利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需将表达式适当地变形，因此必须善于分析题目的特征，根据题设条件，利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法，才能发现问题的突破口．[变式训练]利用柯西不等式求证：a2＋b2＋c2＋d2≥ab＋bc＋cd＋da.证明：取两组数a，b，c，d；b，c，d，a.由柯西不等式，得(a2＋b2＋c2＋d2)(b2＋c2＋d2＋a2)≥(ab＋bc＋cd＋da)2，即(a2＋b2＋c2＋d2)2≥(ab＋bc＋cd＋da)2.因为a2＋b2＋c2＋d2≥0，所以a2＋b2＋c2＋d2≥ab＋bc＋cd＋da.当且仅当a＝b＝c＝d时，等号成立．类型3柯西不等式的综合应用(规范解答)[典例3](2015·陕西卷)(本小题满分10分)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．(1)求实数a，b的值；(2)求at＋12＋bt的最大值．审题指导：(1)将原不等式去掉绝对值，对比已知的解集可求得a，b的值．(2)运用柯西不等式求最值．[规范解答](1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，(2分)则－b－a＝2，b－a＝4，解得a＝－3，b＝1.(5分)(2)－3t＋12＋t＝3·4－t＋t≤[（3）2＋12][（4－t）2＋（t）2]＝24－t＋t＝4.(7分)当且仅当4－t3＝t1，即t＝1时等号成立，(9分)故(－3t＋12＋t)max＝4.(10分)归纳升华根据题设条件的结构特点，恰当选择柯西不等式的某个形式，获得某个最值，再结合其他数学知识，解决参数的范围、不等式恒成立等综合问题．[类题尝试](2015·福建卷)已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；(2)求14a2＋19b2＋c2的最小值．解：(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋c，又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得14a2＋19b2＋c2(4＋9＋1)≥a2·2＋b3·3＋c·12＝(a＋b＋c)2＝16，则14a2＋19b2＋c2≥87，当且仅当12a2＝13b3＝c1，即a＝87，b＝187，c＝27时等号成立，故14a2＋19b2＋c2的最小值为87.1．二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式，学习柯西不等式时要注意它的几种形式间是等价的，也要关注结构形式的变化对数值的要求．2．理解柯西不等式，就要认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程，并从形和数两方面来理解和记忆．另外，对等号取到的条件是要从推导过程来理解的．3．证明一般形式的柯西不等式，要先构造二次函数，再利用配方法，通过讨论相应的判别式来证明，特别要掌握等号成立的充分必要条件．4．对一般形式的柯西不等式，应注意整体的结构特征，要从整体结构上认识这个不等式，形成一定的思维理解模式，在应用其解决问题时才能灵活运用．