数学选修45人教A版课件第二讲22综合法与分析法

第二讲证明不等式的基本方法2．2综合法与分析法[学习目标]1.掌握用综合法和分析法证明不等式的基本步骤(重点)．2.理解这两种证明方法的数学思想．3.会灵活运用这两种方法证明不等式(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，又叫顺推证法或由因导果法．温馨提示用综合法证明时要注意不等式成立的条件是否具备，还要注意不等式基本性质的使用是否准确．2．分析法证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．这是一种执果索因的思考和证明方法．3．综合法与分析法的比较方法证明的起始步骤求证过程求证目标证题方向综合法基本不等式或已经证明过的不等式实施一系列的推出或等价变换要求证的结论由因导果分析法要求证的不等式寻求结论成立的充分条件所需条件全部成立执果索因[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若a＞b，则ac2＞bc2.()(2)若ac＞bc，则a＞b.()(3)若a3＞b3，且ab＜0，则1a＞1b.()(4)若a2＞b2，且ab＞0，则1a＜1b.()解析：若c＝0，则(1)不成立；若c＜0，则(2)不成立；1a－1b＝b－aab，因为a3＞b3，且ab＜0，所以a＞0＞b，即b－a＜0，所以b－aab＞0，故1a＞1b，(3)成立；若a＜0，b＜0，则(4)不成立．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的()A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．必要或充分条件答案：B3．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.a＋b22－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0解析：a2＋b2－1－a2b2＝－(a2－1)(b2－1)，要证原不等式成立，只需证－(a2－1)(b2－1)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.答案：D4.请补全用分析法证明不等式“ac＋bd≤（a2＋b2）（c2＋d2）”时的推理过程：要证明ac＋bd≤（a2＋b2）（c2＋d2），当ac＋bd≤0时，不等式成立；________，只要证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，即要证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2，即要证a2d2＋b2c2≥2abcd，只需证明__________________，该不等式显然成立，故所要证明的不等式成立．答案：当ac＋bd＞0时(ad－bc)2≥0类型1综合法证明不等式(自主研析)[典例1]已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：ab＋bc＋ac≤13.证明：因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)．所以ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2.所以3(ab＋bc＋ca)≤a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝(a＋b＋c)2＝1.所以ab＋bc＋ca≤13.当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．归纳升华1．综合法是指从已证的不等式或问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证的结论或需求的问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．2．综合法证明不等式时常用的不等式：(1)a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，取“＝”)；(2)a＋b2≥ab(a，b∈R＋，当且仅当a＝b时，取“＝”)；(3)a2≥0，|a|≥0，(a－b)2≥0；(4)ba＋ab≥2(a，b同号)，ba＋ab≤－2(a，b异号)；(5)a，b∈R，a2＋b2≥12(a＋b)2.[变式训练]已知a，b，c∈R＋，abc＝1，求证：(2＋a)(2＋b)·(2＋c)≥27.证明：法一：因为(2＋a)(2＋b)(2＋c)＝8＋4(a＋b＋c)＋2(ab＋bc＋ca)＋abc≥8＋4×33abc＋2×33（abc）2＋1＝27，当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，所以原不等式成立．法二：因为(2＋a)(2＋b)(2＋c)＝8＋4(a＋b＋c)＋2(ab＋bc＋ca)＋abc＝8＋2(a＋b＋c)＋2a＋1a＋b＋1b＋c＋1c＋1≥8＋2·3abc＋2×(2＋2＋2)＋1＝27，当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，所以原不等式成立．法三：(2＋a)(2＋b)(2＋c)＝(1＋1＋a)(1＋1＋b)(1＋1＋c)≥33a·33b·33c＝27，当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，所以原不等式成立．类型2分析法证明不等式[典例2]已知x＞0，y＞0，求证：(x2＋y2)12＞(x3＋y3)13.证明：因为x＞0，y＞0，所以要证明(x2＋y2)12＞(x3＋y3)13，只需证(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2，即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6，即证3x4y2＋3x2y4＞2x3y3.因为x＞0，y＞0，所以x2y2＞0，即证3x2＋3y2＞2xy.因为3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy，所以3x2＋3y2＞2xy成立．归纳升华1．分析法是指从要证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那些条件是否具备．其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“已知”．2．当所要证的不等式与重要不等式、基本不等式没有直接联系，或很难发现条件与结论之间的关系时，可用分析法来证明．[变式训练]已知a，b∈R＋，且2c＞a＋b，求证：c－c2－ab＜a＜c＋c2－ab.证明：要证c－c2－ab＜a＜c＋c2－ab，只需证－c2－ab＜a－c＜c2－ab，即证|a－c|＜c2－ab，两边平方得a2－2ac＋c2＜c2－ab，也即证a2＋ab＜2ac，即a(a＋b)＜2ac.因为a，b∈R＋，且a＋b＜2c，所以a(a＋b)＜2ac显然成立．所以原不等式成立．类型3分析法与综合法的灵活运用[典例3]设x，y∈(0，＋∞)，求证：12(x＋y)2＋14(x＋y)≥xy＋yx.证明：原不等式⇔2(x＋y)2＋(x＋y)≥4xy＋4yx⇔(x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2xy(2x＋2y)．因为x＋y≥2xy＞0，所以只需证2(x＋y)＋1≥2x＋2y.即证x＋14＋y＋14≥x＋y.而x＋14≥2x4＝x，y＋14≥2y4＝y，当且仅当x＝y＝14时，等号成立，所以12(x＋y)2＋14(x＋y)≥xy＋yx.归纳升华1．分析法在思考上优于综合法，易于寻找证明的思路，综合法在证明过程中书写表达条理、简练，故常将两法综合使用，用分析法“探路”，用综合法“书写”，从而解决较复杂的不等式证明问题．2．在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程．有时问题证明难度较大，常综合应用分析法和综合法，从两头往中间靠以达到证题目的．[变式训练]若正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则1x－11y－11z－1≥8.证明：因为x＋y＋z＝1，则1x－1＝1－xx＝y＋zx，所以1x－1≥2yzx＞0.同理可证：1y－1≥2xzy＞0，1z－1≥2xyz＞0.将三式相乘，有1x－11y－11z－1≥8xyzxyz＝8.当且仅当x＝y＝z＝13时，等号成立．从而原命题得证．1．综合法是从已知条件或基本不等式出发，运用不等式的有关性质推导出所要证明的不等式，证明思路是“由因导果”．综合法证明不等式，要揭示出条件与结论间的因果联系，为此要着力分析已知与求证间，不等式左、右两端的差异与联系，合理变换、恰当选择已知不等式是证明的关键．寻找启动不等式是综合法的难点，常用不等式有：(1)a2≥0(a∈R)；(2)a2＋b2≥2ab，a＋b22≥ab，a2＋b2≥12(a＋b)2；(3)若a，b∈R＋，a＋b2≥ab，特别的有ba＋ab≥2.2．分析法就是从求证的不等式出发，执果索因，找出使这个不等式成立需具备的充分条件，直至能肯定所需条件已经具备．证明的关键是推理的每一步都必须可逆．用分析法证明“若A则B”的模式为：欲证命题B成立，只需证命题B1成立……只需证命题B2成立…………只需证明A为真．今已知A为真，故B必真．可以简单写成：B⇐B1⇐B2⇐……⇐Bn⇐A.3．证明时省略掉“要证明”和“只需证明”的字样，就会颠倒因果关系而犯逻辑上的根本错误，但可用“⇐”取代那些必要的词语．应予以足够重视．4．分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的特点是利于思考，因为其方向明确，思路自然，易于掌握．综合法的优点是宜于表述、条理清楚、形式简洁．证明时常用分析法探索证明途径，后用综合法的形式写出证明过程，这是解数学问题的一种重要思想方法．