直接证明与间接证明2理

§2.2.1综合法和分析法(2)【学情分析】：前两节课分别学习了综合法与分析法的思考过程、特点。本节是在前两节课的基础上继续运用综合法与分析法证明数学问题。在解决问题时，往往会将这两种直接证明的方法结合起来使用，本节课的例4就是运用这种证明方式。【教学目标】：（1）知识与技能：进一步了解直接证明的两种基本方法——综合法与分析法的思考过程、特点（2）过程与方法：进一步运用综合法、分析法证明数学问题（3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯【教学重点】：运用综合法、分析法证明数学问题。【教学难点】：根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题或将两种方法结合使用；分析法证明问题的正确格式【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习回顾综合法和分析法的思考过程、特点综合法与分析法的关系一、复习回顾综合法和分析法的思考过程、特点综合法与分析法的关系二、应用1.例3．如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F。求证：AF⊥SC。证明：要证AF⊥SC只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC（因为________________）只需证AE⊥平面SBC，只需证AE⊥BC（因为________________）只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA（因为________________）由SA⊥平面ABC可知，上式成立。所以，AF⊥SC。尝试让学生用口头叙述例3的综合法证明过程。2.例4．已知,2k，且给学生独立思考的时间，再师生共同讨论分析：线线垂直与线面垂直的相互转化（线线垂直线面垂直线线垂直）ESFABCsincos2sin，①2sincossin，②求证：22221tan1tan1tan2(1tan)分析：通过观察，首先应从已知条件中消去，得到一个关于sinsin与的关系式，而求证式中出现的是切函数，所以可以将切函数转化为弦函数，正余弦的转化因有二次，不成问题。证明：因为2(sincos)2sincos1，所以将①②代入上式，可得224sin2sin1③另一方面，要证：22221tan1tan1tan2(1tan)成立即证22222222sinsin11coscossinsin12(1)coscos，即证22221cossin(cossin)2即证22112sin(12sin)2即证224sin2sin1由于上式与③相同，于是问题得证。从例4可以看到，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件得到中间结论P。若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立。阅读P100上方分析要到位，通过本例进一步熟悉综合法与分析法的证题思路特点更直观了解综合法与分析法的结合运用三、练习巩固P89.3及时讲评学生板演过程中出现的问题四、知识小结综合法和分析法的思考方向恰好相反，一般来说，分析法作为思考过程比较自然，容易找到证题路径；而综合法作为证明过程，形式简洁、条理清晰、易于表达，令人产生严谨、完善的感觉。但在思维成分中，纯粹的分析法和纯粹的综合法是很少的，往往是在分析中有综合，在综合中又有分析。五、课后作业1.P91.习题2.2A组3.4.2.P91.习题2.2B组3.六、设计反思学生在做证明题时，往往格式会不规范，最易范的错误是从求证式直接证起，要注意纠正。本节的作业A组第4题要稍做提示。【练习与测试】：1．用分析法证明：欲使①AB，只需②CD，这里①是②的（）A．充分条件B.必要条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件答案：B解：由分析法的证题思路知：②①，但①不一定推出②，故选B。2．53,62,MN则()A．M≥NB.MNC.M≤ND.MN答案：B解：MN22(53)(62)821584615261524∵1524显然成立，∴选B3.若babaRba22121:,,证明证明：要证原式成立，只需证baabba22，因为Rba,所以只需证abbabaabba424)(222即证要证上式成立，只需证0)(,02222bababa即显然成立，所以原不等式成立。4.若,,abR11223323求证:(a+b)(a+b)证明：∵,abR∴6()11112233226332233322323(a+b)(a+b)(a+b))((a+b)(a+b)(a+b)22223()2abab642246633633a+3ab+3ab+ba+2abbab223()2abab，显然成立，所以原式成立。5．若3,a求证:a-a-1a-2-a-3证法一：若证原不等式成立，只要证a+a-3a-2a-1要证此不等式成立，只要证2aa(a-3)+(a-3)(a-2)+2(a-1)(a-2)+(a-1)成立即2a(a-3)2(a-1)(a-2)要证上式成立，只要证22332aaaa即证02显然成立，所以不等式成立。证法二：若证原不等式成立，只要证1a11aa-2a-3成立即证：a+a-1a-2a-3，而此式显然成立，所以原式成立。6．若2,,2,:||abRcabaccab且求证证明：要证2||accab只需证：2222acaccab只需证：220a(a+b-2c)0aacab即证因为a0所以因需证a+b-2c0即证：a+b2c显然成立，所以求证式成立。7.若babaRba22121:,,证明证明：要证原式成立，只需证baabba22，因为Rba,所以只需证abbabaabba424)(222即证要证上式成立，只需证0)(,02222bababa即显然成立，所以原不等式成立。