2020届湖南省衡阳市高三下学期第二次模拟数学(理)试题(解析版)

第1页共21页2020届湖南省衡阳市高三下学期第二次模拟数学（理）试题一、单选题1．211ii（）A．iB．iC．2iD．2i【答案】A【解析】利用复数的除法运算，直接求解即可.【详解】211ii2(1)2(1)1-1(1+)(1)2iiiiii，故选：A【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数的除法，属于基础题.2．已知集合2|ln1AxNx，则A（）A．1|xxeeB．1C．2D．1,2【答案】D【解析】通过解不等式2ln1x，可得：1ln1x，所以1xee，再结合xN，即可得解.【详解】由2ln1x，可得：1ln1x，所以1xee，又因为：xN，所以1,2A，故选：D【点睛】本题考查了求集合元素，考查了对数不等式的计算，需注意描述对象的取值范围，属于基础题.3．记nS为等比数列na的前n项和，638aa，63SkS，则实数k的值为（）A．9B．8C．7D．6第2页共21页【答案】A【解析】由na为等比数列，可设首项和公比为1a和q，由638aa可得：38q，又由63SkS可得：6311(1)(1)11aqaqkqq，代入即可得解.【详解】由na为等比数列，可设首项和公比为1a和q，由638aa可得：38q，又由63SkS可得：6311(1)(1)11aqaqkqq，整理化简可得：31+qk，即得：9k，故选：A【点睛】本题考查了等比数列基本量的运算，考查了等比数列通项公式和求和公式，属于简单题.4．现从编号为1，2，…，96的观众中，采用系统抽样的方法抽取八位幸运观众，其中有两个编号为21与93，则所抽取的8个编号的中位数为（）A．45B．48C．51D．57【答案】C【解析】96名观众用系统抽样的方法抽取8人，则分段间隔为12，由其中有两个编号为21与93，可知：第一组选取的编号为9，则第4个和第5个编号分别为45和57，取中间数即可.【详解】96名观众用系统抽样的方法抽取8人，则分段间隔为968=12，由其中有两个编号为21与93，可知：第一组选取的编号为9，则第4个和第5个编号分别为45和57，所以中位数为45+57=512，故选：C【点睛】本题考查了抽样方法之系统抽样，考查了概念的理解和辨析，属于基础题.5．若函数xxfxaxee在R上单调递减，则实数a的取值范围为（）第3页共21页A．2aB．1aC．1aD．2a【答案】A【解析】由xxfxaxee在R上单调递减，可得：导函数()0xxfxaee在R上恒成立，参变分离后，求最值即可的解.【详解】由xxfxaxee在R上单调递减，可得：导函数()0xxfxaee在R上恒成立，因为0xe，参变分离可得：min(+)xxaee，+22xxxxeeee2a故选：A【点睛】本题考查了利用函数单调性求参数范围，考查了恒成立思想和基本不等式的应用，属于中档题.6．空间点,,Axyz，0,0,0O，2,3,2B，若1AO，则AB的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】在空间中由1AO可得：点A在以O为球心，半径为1的球面上，2,3,2B在求外，所以B到球心的距离减去半径即为AB的最小值.【详解】在空间中由1AO可得：点A在以O为球心，半径为1的球面上，2,3,2B在球外，B到球心的距离234=3BO，min312AB，故选B.【点睛】第4页共21页本题考查了球外一点到球面上最短距离问题，类比于圆外一点到圆上的最短距离问题，考查了转化思想和空间想象能力，属于中档题.7．将不超过实数x的最大整数记为x，函数fx为R上的奇函数，当0x时，1xfxe，则3ln8f（）A．2B．1C．-2D．-1【答案】C【解析】因为318，所以8ln3385ln(ln)1833ffe，再取整即可得解.【详解】因为318，所以根据奇函数性质可得：8ln3385ln(ln)1833ffe，所以523，故选C【点睛】本题考查了奇偶性及对数的运算，考查了高斯函数，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.8．设10ab，则下列不等式恒成立的是（）A．1122abB．2020202111abC．11loglogabbaD．baab【答案】D【解析】利用指数函数、对数函数的单调性，以及和中间量的比较，进行大小的比较，即可得解.【详解】对A，由2x为增函数，所以2221ab，可得1122ab，A错；对B，由10ab，所以1101ab，可得20202021111ab，故B错；对C，由10ab，所以log0ab、log0ba且loglog1abba，故C不确第5页共21页定；对D，由10ab，可得：1baab，故D对；故选：D【点睛】本题考查了指数和对数的比较大小，考查了不等式性质和转化思想，属于中档题.9．已知P为椭圆C：222210xyabab上一点，1F，2F是C的两个焦点，椭圆C的离心率为35，且12PFF△的周长为16，若12PFF△为等腰三角形，则1PF的取值不可能．．．为（）A．4B．5C．6D．8【答案】D【解析】由椭圆C的离心率为35，可得35ca，由12PFF△的周长为16可得：2216ac，联立即得a，c的值，5,3ac，分类讨论12PFPF，121FFPF，122FFPF即可得解.【详解】由椭圆C的离心率为35，即35ca，由12PFF△的周长为16，即2216ac，可得：5,3ac，若12PFPF，15PF，若121FFPF，16PF，若122FFPF，14PF，只有8不可能，故选：D【点睛】本题考查了椭圆的离心率和椭圆定义，考查了分类讨论思想，属于中档题.10．算术运算符MOD表示取余数，如MODabc，表示a除以b余数为c，图是关于取余的一个程序框图，若输入x的值为3，则输出x（）第6页共21页A．9B．7C．3D．1【答案】A【解析】通过循环结构，可得输出结果为：10310MOD，方法一为数字分解，方法二为找规律，方法三为利用二项展开式.【详解】23x，323kx，933kx，1093kx，求10310MOD．法一：数字易分解，取余自分晓．10381819，显然103109MOD．法二：转化之中看尾数，逐次递推规律现．3的尾数为3，23的尾数为9，33的尾数为7，43的尾数为1，53的尾数为3，以此类推便知，其尾数以4为周期的规律循环呈现，103与23的尾数一致，为9．法三：结构须意识，勿忘二项式．105505455539(101)1010(1)CC，知103109MOD．【点睛】本题考查了程序框图循环结构，考查了数字取余，考查了计算能力和转化思想，属于较难题.11．已知3,,,2424，现将函数44cossinxxfx的图象向右平移个单位后得到函数gx的图象，若两函数gx与tan0yx图象的对称中心完第7页共21页全相同，则满足题意的的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】首先化简44cossinxxfx，可得：cos2fxx，因为tan0yx为奇函数，若要两函数gx与tan0yx图象的对称中心完全相同，则gx为奇函数，又因为cos2fxx的周期为，故tan0yx周期为，从这两方面即可得解.【详解】依题化简得：cos2fxx，根据正余弦曲线与正切曲线的图象性质，欲使得两函数图象对称中心一致，cos2fxx须为奇函数，且tanyx只能为tanyx，有如图的两类情况．434【点睛】本题考查了三角函数的化简和平移，考查了考查了正、余弦函数及正切函数的中心对称，考查三角函数的图像与性质，属于较难题.12．已知ABC的周长为9，若cos2sin22ABC，则ABC的内切圆半径的最大值为（）第8页共21页A．12B．1C．2D．32【答案】C【解析】首先化简cos2sin22ABC，可得：1tantan223AB，cos1tantan21222tan23sintantantantan22222ABABCABABAB，再结合图形即可得解.【详解】法一：角靠拢，形助兴coscossinsincos2sin222222ABABABC2cos2coscossinsin22222ABABAB，整理得：1tantan223AB，cos1tantan21222tan23sintantantantan22222ABABCABABAB，如图有：由1tantan223AB，可得23xyr，cos1tantan21222tan23sintantantantan22222ABABCABABAB代入213rrrzxy，整理可得：3xy，第9页共21页22max113tantan2233322ABxyxyrr．法二：1tantan223AB，92()2tantantan222rrrxyzCBAtantan112221tantantantan2222ABrABBA得：max113tantan22232ABrr．法三：1tantan223AB，coscos2sincos2222ABCCC，cossin2sincos2222ABABCC，得1(sinsin)2sincossin222CCABC，由正弦定理，得239abcc，3c．1tantan223AB，如图可得：1(3)3rrxx，2(3)3xxr，32x，max32r．【点睛】本题考查了解三角形，考查了计算能力和转化思想，同时考查了数形结合，要求比较高的计算能力和转化思想，属于难题.二、填空题13．若向量,ab满足：aab，2b，则2ab______．【答案】2第10页共21页【解析】由aab可得：20aab，把2ab平方即可得解.【详解】由aab可得：20aab，2222=44+4abaabb，2=2ab，故答案为：2【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了向量的模，考查了向量的模的平方即是向量的平方，考查了计算能力数，属于简单题.14．中国古代崇尚玉，玉寓意美好的人或事物．许多汉字与玉相关，如：玲、珑、珍、珠、琼、理等，现将“玛、玚、珅、珪、珽、珊”六个汉字排一排，其中笔画数相同的汉字必须相邻的排法有______种．（用数字作答）【答案】48【解析】除去偏旁王外，六个字剩下的笔画数分别为3，3，5，6，6，5．6个字各有两个相同笔画，把相同笔画的放在一起，共有33A种排法，再松绑即可得解.【详解】汉字笔画为传统文化中的常识，求同存异，除偏旁外，六个字剩下的笔画数分别为3，3，5，6，6，5．故由相邻问题捆绑法，可知共有2223222348AAAA个．故答案为：48【点睛】本题考查排列组合，考查了捆绑法，属于中档题.15．如图，三棱锥APBC，PA，PB，PC两两垂直，1PA，2PB，3PC，点O为三棱锥APBC外接球的球心，则AO与PC所成角的大小为