求函数定义域和值域方法对应法则归纳1

1一求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A和B是非空数集，按照某一确定的对应关系f，使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A到B的一个函数。2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f）,②集合A的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x∈A}。3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。4.值域：是由定义域和对应关系（f）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。（1）明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x∈A}。（2）明白定义中集合B是包括值域，但是值域不一定为集合B。5．函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法6．分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．w二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0底数1;底数1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于1.（2()log(1)xfxx）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子2解集的交集。（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形如：2()xfxx)例：已知函数解析式，求定义域的典型题1.求下列函数的定义域20111(1)()4;(2)()(1);(3)();3123xfxxfxxfxxxx2.抽象函数（没有解析式的函数）解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为：（1）给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围；（2）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。例（1）若函数f(x)的定义域为（-2,6），求1(1)2fx的定义域。（2）若数(1)fx的定义域为[-1,2],求函数()fx的定义域。（3）若数()fx的定义域为[0,2],求函数(2)()1fxgxx的定义域（4）已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f（2x-1）的定义域13|22xx3.与函数定义域有关的问题题（恒成立问题）①若函数224()(21)xfxxmxm的定义域为R，求实数m的取值范围。②函数226ykxkxk的定义域为R，求k的取值范围。③函数2()68fxmxmxm的定义域为R，求m的取值范围。二、求函数值域（一）求函数值域方法和情形总结1.直接观察法（利用函数图象）一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y值的取值范围。32.配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以a0为例），此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点：（1）含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论a；（2）a不为0时，讨论开口方向；（3）注意区间，即讨论对称轴。例1：求2()46fxxx在[1,5]上的值域.3.分式型（1）分离常量法：应用于分式型的函数，并且是自变量x的次数为1，或是可以看作整体为1的函数。具体操作：先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为dyabxc。例2：51()42xfxx求的值域.3.换元法通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。注：换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。例3：求函数()21fxxx的值域解：令21,0,1txtxt则，带入原函数解析式中得2221152(1)222()48yttttt因为，0t所以，函数的值域为15,8y.跟跟踪踪练练习习：：求下列函数的域（1）22sin3cos1yxx（2）211yxx（3）sincossincosyxxxx，（令t=sincosxx）42[()]()()ffxafxbaaxbbaxabb二函数解析式的求法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．例1设)(xf是一次函数，且34)]([xxff，求)(xf．解：设baxxf)()0(a，则342baba，3212baba　或　　．32)(12)(xxfxxf　　或　　．二、配凑法：已知复合函数[()]fgx的表达式，求()fx的解析式，[()]fgx的表达式容易配成()gx的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()fx的定义域不是原复合函数的定义域，而是()gx的值域．例2已知221)1(xxxxf)0(x，求()fx的解析式．解：2)1()1(2xxxxf，21xx，2)(2xxf)2(x．三、换元法：已知复合函数[()]fgx的表达式时，还可以用换元法求()fx的解析式．与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化．例3已知xxxf2)1(，求)1(xf．解：令1xt，则1t，2)1(tx．xxxf2)1(，,1)1(2)1()(22ttttf1)(2xxf)1(x，xxxxf21)1()1(22)0(x．四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．例4设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf．5解xxfxf)1(2)(①显然,0x将x换成x1，得：xxfxf1)(2)1(②解①②联立的方程组，得：xxxf323)(．五.判段函数为同一函数的方法：定义域和对应法则例：与y＝|x|为相等函数的是________．(填序号)①y＝(x)2；②y＝x2；③y＝x－；④y＝3x3