高一数学人教A版必修三同步课件第一章算法初步13

1.3算法案例学案·新知自解1.掌握辗转相除法与更相减损术的原理及算法分析，并能熟练运用这两种算法求正整数的最大公约数.2.理解秦九韶算法的原理及算法分析，并能熟练地用此法求多项式的值.3.了解进位制原理.辗转相除法1.辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的_____________的古老而有效的算法.2.辗转相除法的算法步骤第一步，给定_________________Ｗ.第二步，计算___________________Ｗ.第三步，______________Ｗ.第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于___；否则返回_________Ｗ.最大公约数两个正整数m、nm除以n所得余数rm＝n，n＝rm第二步更相减损术1.更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求_______________________的算法.2.其基本过程是：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是______Ｗ.若是，____________；若不是，执行________Ｗ.第二步，以______的数减去______的数，接着把所得的差与______的数比较，并以大数减去小数，继续这个操作，直到所得的数______为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.两个正整数最大公约数偶数用2约简第二步较大较小较小相等秦九韶算法功能它是一种用于计算___________________的值的方法改写后的形式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝_________________________________＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…＝_____________________________________一元n次多项式(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0计算方法从括号最内层开始，由内向外逐层计算v1＝anx＋an－1，v2＝v1x＋an－2，v3＝____________，…vn＝____________，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求___________________的值v2x＋an－3vn－1x＋a0n个一次多项式进位制进位制是人们为了______和___________而约定的记数系统，“满k进一”就是________，k进制的基数是___Ｗ.把十进制数化为k进制数时，通常用___________Ｗ.计数运算方便k进制k除k取余法[化解疑难](1)辗转相除法与更相减损术的比较两种方法辗转相除法更相减损术计算法则除法减法终止条件余数为0减数与差相等最大公约数的选取最后一步中的除数最后一步中的减数计算次数步骤较少，运算复杂步骤较多，运算简单相同点同为求两个正整数最大公约数的方法，都是递归过程(2)秦九韶算法的步骤1.(2015·遵义高一期中)用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是()A.3B.9C.17D.51解析：利用辗转相除法，得459＝357×1＋102，357＝102×3＋51，102＝51×2＋0，所以459和357的最大公约数是51.答案：D2.用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4在x＝－1时的值，v2的结果是()A.－4B.－1C.5D.6解析：n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式得v0＝2，v1＝v0x＋a3＝－5，v2＝v1x＋a2＝6.答案：D解析：先把1101(2)化成十进制数，1101(2)＝1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，再把13化成五进制数.∴13＝23(5)，即1101(2)＝23(5).3.二进制数1101(2)化成五进制数为Ｗ.答案：23(5)教案·课堂探究最大公约数的求法多维探究型分别用辗转相除法和更相减损术求261和319的最大公约数.解析：解法一：(辗转相除法)319÷261＝1(余58)，261÷58＝4(余29)，58÷29＝2(余0)，所以319与261的最大公约数为29.解法二：(更相减损术)319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，29－29＝0，所以319与261的最大公约数是29.[归纳升华](1)辗转相除法是当大数被小数除尽时，结束除法运算，较小的数就是最大公约数；更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时停止减法，较小的数就是最大公约数.(2)求三个数的最大公约数，可以先求两个数的最大公约数，然后求第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数.1.1443与999的最大公约数是()A.99B.11C.111D.999解析：用更相减损术，1443－999＝444，999－444＝555，555－444＝111，444－111＝333，333－111＝222，222－111＝111，所以111是最大公约数，故选C.答案：C秦九韶算法及其应用多维探究型用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.16667x3＋0.04167x4＋0.00833x5在x＝－0.2时的值.解析：f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.16667x3＋0.04167x4＋0.00833x5＝((((0.00833x＋0.04167)x＋0.16667)x＋0.5)x＋1)x＋1，而x＝－0.2，所以有υ0＝a5＝0.00833，υ1＝υ0x＋a4＝0.04，υ2＝υ1x＋a3＝0.15867，υ3＝υ2x＋a2＝0.46827，υ4＝υ3x＋a1＝0.90635，υ5＝υ4x＋a0＝0.81873，即f(－0.2)＝0.81873.[归纳升华]利用秦九韶算法计算多项式的值关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于后项计算需用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性.2.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x5＋5x4＋4x3＋3x2＋2x＋1，当x＝5的值时，乘法运算和加法运算的次数分别为()A.10，5B.5，5C.5，6D.15，6解析：f(x)＝6x5＋5x4＋4x3＋3x2＋2x＋1＝((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1，故当x＝5时有5次乘法和5次加法运算，选B.答案：B进位制之间的转化多维探究型(1)把十进制数89化为三进制数.(2)把五进制数3241(5)转化为八进制数.解析：(1)具体的计算方法如下：89＝3×29＋2；29＝3×9＋2；9＝3×3＋0；3＝3×1＋0；1＝3×0＋1.所以89＝10022(3).或用下面的除法算法表示.把上式中各步所得余数从下向上排列，得89＝10022(3).(2)3241(5)＝3×53＋2×52＋4×51＋1×50＝446，446＝8×55＋6，55＝8×6＋7，6＝8×0＋6.∴446＝676(8)，故3241(5)＝676(8).[归纳升华](1)将十进制数化成k进制数的方法是用“除k取余法”，用k连续去除十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后将各步所得的余数倒序写出，即为相应的k进制数.(2)非十进制数直接利用公式anan－1…a1a0(k)＝ankn＋an－1kn－1＋…＋a1k＋a0就可以转化为十进制数；k进制数和m进制数之间需要用十进制数来转化，即先把k进制数转化为十进制数，再利用除m取余法转化为m进制数.3.把88化为五进制数是()A.323(5)B.324(5)C.233(5)D.332(5)解析：88＝5×17＋3，17＝5×3＋2，3＝5×0＋3，所以88化为五进制数是323(5).答案：A谢谢观看！