高一数学人教A版必修二课件第三章直线与方程334

3.3.3点到直线的距离3．3.4两条平行直线间的距离学案·新知自解1．会用点到直线的距离公式求点到直线的距离．2．探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离．点到直线、两条平行线间的距离1．点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝_______________.2．两条平行直线间的距离定义——两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间________的长求法——转化为一条直线上的_____到另一条直线的______垂线段一点距离|Ax0＋By0＋C|A2＋B2[化解疑难]1.点到直线的距离公式需注意的问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P0(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝|kx0－y0＋b|k2＋1.2.对平行线间的距离公式的理解(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B.3C．2D.5解析：利用点到直线的距离公式可得：原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝|0＋0－5|12＋22＝5.故选D.答案：D2．两平行直线3x＋2y－3＝0和6x＋4y＋1＝0之间的距离是()A．4B.21313C.51323D.71326解析：6x＋4y＋1＝0可化为3x＋2y＋12＝0，则由两条平行直线间的距离公式得d＝12－－332＋22＝71326.答案：D3．设点P在直线x＋3y＝0上，且P到原点的距离与P到直线x＋3y－2＝0的距离相等，则点P坐标是____________．解析：设P(－3y，y)，则y2＋9y2＝|－3y＋3y－2|10，y＝±15.当y＝15时，x＝－35，∴P－35，15，当y＝－15时，x＝35，∴P35，－15.答案：－35，15或35，－15教案·课堂探究点到直线的距离自主练透型(1)求点P(3，－2)到下列直线的距离：①y＝34x＋14；②y＝6；③x＝4.(2)求过点A(－1,2)，且与原点的距离等于22的直线方程．解析：(1)①直线y＝34x＋14化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝|3×3－4×－2＋1|32＋－42＝185.②因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.③因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.(2)因为所求直线方程过点A(－1,2)，且斜率存在，所以设直线方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，又原点到直线的距离等于22，所以|k＋2|k2＋1＝22，解得k＝－7或k＝－1.故直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0.[归纳升华]应用点到直线的距离公式应注意的三个问题1．直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．2．点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．3．直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.1．(1)点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________________________________________________________________________．(2)已知直线l过点P(0,2)，且点A(1,1)，B(－3,1)到直线l的距离相等，求直线l的方程．解析：(1)|OP|的最小值就是O点到直线x＋y－4＝0的距离．|OP|min＝|0＋0－4|12＋12＝22.(2)由于点A(1,1)与B(－3,1)到y轴的距离不相等，所以直线l的斜率存在，设为k.又直线l过点P(0,2)，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.由点A(1,1)，B(－3,1)到直线l的距离相等得：|k－1＋2|k2＋1＝|k×－3－1＋2|k2＋1，解得k＝0或k＝1，故直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.答案：(1)22两平行线间的距离多维探究型求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．解析：法一：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0.在直线5x－12y＋6＝0上取一点P00，12，则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为－12×12＋C52＋－122＝|C－6|13，由题意，得|C－6|13＝2，所以C＝32，或C＝－20.故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.法二：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，由两平行直线间的距离公式得2＝|C－6|52＋－122，解得C＝32，或C＝－20.故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.[归纳升华]求两平行线间的距离一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝|b1－b2|k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|A2＋B2.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等.2．(1)两条平行线l1：3x＋4y＝10和l2：6x＋8y＝15间的距离是________．(2)与直线2x＋y＋1＝0的距离等于55的直线方程为()A．2x＋y＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0解析：(1)l1，l2方程分别化为l1：3x＋4y－10＝0，l2：3x＋4y－152＝0，故l1与l2之间的距离d＝－10－－15232＋42＝12.(2)根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，因为两直线间的距离等于55，所以d＝|c－1|22＋12＝55，解得c＝0或c＝2.故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.答案：(1)12(2)D距离公式的综合应用分层深化型两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.(1)求d的变化范围．(2)当d取最大值时，求两条直线的方程．[规范解答](1)方法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x＝6和x＝－3，则它们之间的距离为9.2分②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l1：y－2＝k(x－6)，l2：y＋1＝k(x＋3)，即l1：kx－y－6k＋2＝0，l2：kx－y＋3k－1＝0，∴d＝|3k－1＋6k－2|k2＋1＝3|3k－1|k2＋1，4分即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0.∵k∈R，且d≠9，d＞0，∴Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0，即0＜d≤310且d≠9.综合①②可知，所求d的变化范围为(0,310].8分方法二：如图所示，显然有0＜d≤|AB|.而|AB|＝6＋32＋2＋12＝310.故所求的d的变化范围为(0,310].8分(2)由图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB.而kAB＝2－－16－－3＝13，∴所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.12分[归纳升华]常见的距离公式应用问题的解题策略1．最值问题：①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．2．求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．3．求方程的问题：立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解.[同类练]☆1．求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．解析：方法一：当直线斜率不存在时，即x＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)．由条件得|2k－3－k＋2|k2＋1＝|5－k＋2|k2＋1，解得k＝4，故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.方法二：由平面几何知识知l∥AB或l过线段AB的中点．∵直线AB的斜率kAB＝4，若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0.若l过AB的中点(1，－1)，则直线方程为x＝1，故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.[变式练]☆2．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．解析：由x－3y－4＝0，4x＋3y－6＝0，解得x＝2，y＝－23，即直线l过点B2，－23.①当l与x轴垂直时，方程为x＝2，点A(－3,1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意．②当l与x轴不垂直时，设斜率为k，则l的方程为y＋23＝k(x－2)，即kx－y－2k－23＝0，由点A到l的距离为5，得－3k－1－2k－23k2＋－12＝5，解得k＝43，所以l的方程为43x－y－83－23＝0，即4x－3y－10＝0.综上，所求直线方程为x＝2或4x－3y－10＝0.[拓展练]☆3．直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程．解析：若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0；由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.∵l1与l2间的距离为5，∴|1－－5k|k2＋1＝5.∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝125.∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，满足条件．则满足条件的直线方程有以下两组：l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5.谢谢观看！