高一数学人教A版必修二课件第二章点直线平面之间的位置关系231

2．3直线、平面垂直的判定及其性质2．3.1直线与平面垂直的判定学案·新知自解1．了解线面垂直的判定定理的直观感知，归纳推导过程．2．理解线面垂直的定义以及判定定理．3．能够运用线面垂直的判定定理判定或证明线面垂直．直线与平面的垂直直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的_______直线都_______，就说直线l与平面α互相垂直，记作_______.直线l叫作平面α的_______，平面α叫作直线l的_______．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫作_______所有垂直l⊥α垂线垂面垂足画法通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的__________________都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表述：l⊥al⊥b_________________________⇒l⊥α两条相交直线a∩b＝Aa⊂αb⊂α直线与平面所成的角直线和平面所成的角定义平面的一条斜线和它在平面上的_______所成的_____，叫作这条直线和这个平面所成的角．当直线与平面垂直时，它们所成的角是90°.当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是_____射影角0°范围0°≤θ≤90°画法如图，_________就是斜线AP与平面α所成的角∠PAO[化解疑难]1．判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直．2．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可．至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的.1．若斜线段AB是它在平面α内的射影长的2倍，则AB与α所成的角为()A．60°B．45°C．30°D．120°解析：斜线段AB，设斜足为B，A在平面α上的射影为H，∴BH为AB在平面α上的射影．∴∠ABH为斜线段AB与α所成的角．∵sin∠ABH＝AHAB，又∵ABBH＝2，∴sin∠ABH＝32，∵∠ABH为锐角，∴∠ABH＝60°.答案：A2.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β且BA⊥α，CB⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定解析：∵BA⊥α，α∩β＝l，∴BA⊥l.同理CB⊥l.而BA∩CB＝B，∴l⊥平面ABC，而AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.答案：C3.如图所示，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有________；(2)与AP垂直的直线有________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，所以与PC垂直的直线有AB，AC，BC.(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，又AP⊂平面PAC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，BC，AC(2)BC教案·课堂探究线面垂直的概念与定理的理解自主练透型下列说法中正确的个数是()①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.A．1B．2C．3D．4解析：由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是③④，故选B.答案：B[归纳升华]线面垂直的判定定理中，直线垂直于平面内的两条相交直线，“相交”两字必不可少，否则，就是换成无数条直线，这条直线也不一定与平面垂直.1．下列说法中，正确的是________．(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．(3)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．(4)与一个平面的垂线垂直的直线和这个平面平行．解析：(1)a∥α，b⊂α，直线a与直线b可能平行，也可能异面，故(1)错．(2)一条直线垂直于三角形的两边，则该直线垂直于三角形所在的平面，故该直线与三角形的第三边垂直，故(2)正确．(3)三条共点直线两两垂直，设为a，b，c，且a，b，c共点于O.因为a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，所以b、c确定一平面，设为α，则a⊥α.同理可知b垂直于由a、c确定的平面，c垂直于a、b确定的平面．故(3)正确．(4)因为平面内的任意一条直线都和该平面的垂线垂直，所以直线也可能在平面内，故(4)不正确．答案：(2)(3)直线与平面垂直的判定多维探究型(2015·唐山市高二期中)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.证明：(1)因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以CD⊥PA.又在矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.(2)取PD的中点G，连接AG，FG，又因为F是PC的中点，所以GF綊12CD，所以GF綊AE.所以四边形AEFG是平行四边形，所以AG∥EF.因为PA＝AD，G是PD的中点，所以AG⊥PD，所以EF⊥PD，因为CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD.所以CD⊥AG.所以EF⊥CD.因为PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD.[归纳升华]利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线，证明它们和这条直线垂直.2.如图所示，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：(1)CD⊥AA1；(2)AB1⊥平面CED.证明：(1)由题意，得AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以CD⊥AA1.(2)因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，所以CD⊥平面A1B1BA，因为AB1⊂平面A1B1BA，所以CD⊥AB1.又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，所以AB1⊥平面CED.直线与平面所成的角分层深化型如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝13DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.(1)求证：CD⊥平面PAB；(2)求直线PC与平面PAB所成的角．解析：法一：(1)证明：连接CO，由3AD＝DB知，点D为AO的中点．又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.由3AC＝BC知，∠CAB＝60°，所以△ACO为等边三角形．故CD⊥AO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD⊂平面PAB，AO⊂平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，又△AOC是边长为2的正三角形，所以CD＝3.在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝3，所以tan∠CPD＝CDPD＝33，∠CPD＝30°，即直线PC与平面PAB所成的角为30°.法二：(1)证明：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.在Rt△ABC中，由AB＝4,3AD＝DB，3AC＝BC得，DB＝3，BC＝23，所以BDBC＝BCAB＝32，则△BDC∽△BCA，所以∠BCA＝∠BDC，即CD⊥AO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC.又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD.由PD⊂平面PAB，AO⊂平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角．在Rt△PCD中，PD＝BD＝3，CD＝BC2－BD2＝3，所以tan∠CPD＝CDPD＝33，∠CPD＝30°，即直线PC与平面PAB所成的角为30°.[归纳升华]求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤：(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.[同类练]☆1．如图所示，在三棱锥P－ABC中，△PAC和△ABC都是边长为a的正三角形，D为AC的中点，PD⊥平面ABC，求PB与平面ABC所成的角．解析：在三棱锥P－ABC中，连接BD.∵PD⊥平面ABC，∴∠PBD是PB与平面ABC所成的角．∵△PAC和△ABC都是边长为a的正三角形，D为AC的中点，∴BD＝PD＝32AB＝32a，∵BD⊂平面ABC，∴PD⊥BD.在等腰Rt△PBD中，∠PBD＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角是45°.[变式练]☆2.如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°.(1)求证：CD⊥平面ABC；(2)求直线BD与平面ACD所成角的大小．解析：(1)证明：因为BD是底面圆的直径，所以CD⊥BC.又AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD.因为AB∩BC＝C，所以CD⊥平面ABC.(2)取AC的中点E，连接DE，由(1)知BE⊥CD，又E是AC的中点，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，所以BE⊥AC，所以BE⊥平面ACD，所以直线BD与平面ACD所成的角为∠BDE.而BE⊥平面ACD，则BE⊥ED，即△BED为直角三角形．又AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，则BD＝22，BE＝2，所以sin∠BDE＝BEBD＝12，所以∠BDE＝30°.[拓展练]☆3．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝33，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．(1)求证：BC′⊥平面AC′D；(2)求直线AB与平面BC′D所成角的正弦值．解析：(1)证明：∵点C′在平面ABD上的射影O在AB上，∴C′O⊥平面ABD，∴C′O⊥DA.又∵DA⊥AB，AB∩C′O＝O，∴DA⊥平面ABC′，∴DA⊥BC′.又∵BC⊥CD，∴BC′⊥C′D.∵DA∩C′D＝D，∴BC′⊥平面AC′D.(2)如图所示，过A作AE⊥C′D，垂足为E.∵BC′⊥平面AC′D，∴BC′⊥AE.又∵BC′∩C′D＝C′，∴AE⊥平面BC′D.连接BE，则BE是AB在平面BC′D上的射影，故∠ABE就是直线AB与平面BC′D所成的角．∵DA⊥AB，DA⊥BC′，∴DA⊥平面ABC′，∴DA⊥AC′.在Rt△AC′B中，AC′＝AB2－BC′2＝32.在Rt△BC′D中，C′D＝CD＝33.在Rt△C′AD中，由面积关系，得AE＝AC′·ADC′D＝32×333＝6.∴在Rt△AEB中，sin∠ABE＝AEAB＝633＝23，即直线AB与平面BC′D所成角的正弦值为23.谢谢观看！