高一数学课件函数的概念高一数学课件

第6课时函数的概念序号知识目标学法建议能力素养1理解函数是从一个数集到另一个数集的对应,理解函数的概念和数学符号表示,了解构成函数的三要素阅读教材,示例分析,小组间实际生活问题举例会判断一个式子是不是函数;会判断两个函数是否相同2理解无穷大的含义和记法,会用区间法表示数集小组讨论,对比练习体会区间表示数集的便捷性,熟悉数学语言的应用3理解函数定义域、值域的概念,会求一些简单函数的定义域、函数值合作探究,小组交流学习通过函数定义域、函数值的求法提升数学运算素养重点:对函数概念的理解及区间的认识.难点:对函数概念和符号y=f(x)的理解及已知函数解析式求函数定义域的方法.我们知道高速路上匀速行驶的车辆行驶的路程与时间成正比,每天的气温也随时间的变化而变化.现实生活中存在着许多相互依赖的两个变量之间的关系的数学模型,我们称之为函数关系.你学习过哪些函数?预学1:函数的概念设A、B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.其中,x叫作自变量,x的取值范围叫作函数的定义域;与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合叫作函数的值域.议一议:符号“y=f(x)”中“f”的意义是什么?请举例说明.(小组讨论后抢答)【解析】符号“y=f(x)”中“f”表示对应关系,在不同的具体函数中,“f”的含义不一样.例如函数y=f(x)=x2中,“f”表示的对应关系为因变量y等于自变量x的平方,从而f(a)=a2,f(x+1)=(x+1)2,而函数y=f(x)=2x中,“f”表示的对应关系为因变量y等于自变量x的2倍,从而f(a)=2a,f(x+1)=2(x+1).预学2:相等函数的判断若函数y=f(x)与函数y=g(x)的定义域相同,且对应关系相同(对定义域内任意自变量x,对应的函数值y相等),则称这两个函数是相等函数.议一议:函数y=x与函数y=𝑥2𝑥是相等函数吗?说出你的判断依据.(指定小组回答,其他组补充)【解析】不是相等函数,因为它们的定义域不相同.预学3:区间的表示定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a,b]{x|axb}开区间(a,b){x|a≤xb}半开半闭区间[a,b){x|ax≤b}半开半闭区间(a,b]{x|x≥a}[a,+∞){x|xa}(a,+∞){x|x≤a}(-∞,a]{x|xa}(-∞,a)注:实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”.议一议:对于区间[a,b]而言,区间端点a,b应满足什么关系?区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗?(抢答)【解析】若a,b为区间的左,右端点,则ab.不是任何数集都能用区间表示,如集合{0}就不能用区间表示.预学4:由解析式和自变量求函数值及由解析式和函数值求自变量(1)直接将自变量的值代入解析式中,得出来的值就是它对应的函数值;(2)先使函数等于已知的函数值,再解该方程,得出来的值经检验后若符合该函数的定义域,则为所要求的自变量.议一议:(1)已知f(x)=x2-2x-1,求f(-1)的值;(2)已知f(x)=x2-2x-1,若f(a)=7,求a的值.【解析】(1)f(-1)=1+2-1=2.(2)由f(a)=a2-2a-1=7,解得a=4或-2.1.已知集合A=1,2,3,集合B=-1,0,1,x∈A,y∈B,下列对应关系不属于集合A到集合B的一个函数的是().A.f:x→y=±|x-2|B.f:x→y=x-2C.f:x→y=(x-2)2D.f:x→y=-1【解析】选项B,C,D都满足集合A中的任意一个元素,按照对应关系,在集合B中都有唯一的元素与之对应.选项A,当x=1时,集合B中有±1两个元素与之对应,不符合函数的定义.故选A.【答案】A2.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是().A.(12,+∞)B.(-12,+∞)C.(13,+∞)D.(-13,+∞)【解析】由题意,得3a-1a,则a12.【答案】A3.给出下列三组函数,同组的两个函数相等的组别序号是.①f(x)=(𝑥)2与g(x)=𝑥2;②y=x0与y=1(x≠0);③y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z.【解析】①中定义域不同;③中对应关系不同;②中定义域相同,对应关系也相同,所以只有②符合.【答案】②4.已知函数f(x)=6𝑥-1-𝑥+4.(1)求函数的定义域;(2)求f(-1),f(12)的值.【解析】(1)由题意知,x-1≠0且x+4≥0,即x≥-4且x≠1.故函数的定义域为[-4,1)∪(1,+∞).(2)f(-1)=6-1-1--1+4=-3-3;f(12)=612-1-12+4=611-4=-3811.探究1:函数的概念【例1】(1)下列式子:①x2+y2=2;②𝑥-1+𝑦-1=1;③y=𝑥-3+1-𝑥.能确定y是x的函数的是.(填序号)(2)与函数y=x+1相等的函数是().A.y=(x+1)0B.y=t+1C.y=(𝑥+1)2D.y=|x+1|【方法指导】(1)本题的关键在于理解函数的概念,从函数三要素的角度进行判断.(2)根据函数相等的条件判定.【解析】(1)①由x2+y2=2,得y=±2-𝑥2,每给一个定义域内的x值可能有两个y值与之对应,因此它不能确定y是x的函数.②由𝑥-1+𝑦-1=1,得y=(1-𝑥-1)2+1,所以当x在{x|x≥1}中任取一个数时,有唯一确定的y值与之对应,故由它可确定y是x的函数.③由𝑥-3≥0,1-𝑥≥0,得x∈⌀,故由它不能确定y是x的函数.(2)A、C选项中定义域与y=x+1不同;D项中对应关系不同.对于B,尽管自变量不一样,但定义域、对应关系均相同,二者表示相等函数.【答案】(1)②(2)B【变式设问】本例(2)中选项C:y=(𝑥+1)2的定义域为[-1,+∞),这里的“[-1,+∞)”是指谁的取值范围?提示:指自变量x的取值范围.【针对训练1】判断下列各组函数是否表示相等函数.(1)f(x)=𝑥2与g(x)=x33;(2)f(x)=xx与g(x)=1;(3)f(x)=x2-x与g(t)=t(t-1);(4)f(x)=(x-1)2与g(x)=(x-1)2.【解析】(1)f(x)与g(x)不相等;(2)f(x)与g(x)不相等;(3)f(x)与g(t)是相等函数;(4)f(x)与g(x)不相等.探究2:函数值的求法【例2】已知f(x)=x2+2x+3,求f(1),f(t),f(2a-1)和f[f(-1)]的值.【方法指导】分别用1,t,2a-1替换f(x)中的x,并计算整理即可.【解析】f(1)=12+2×1+3=6;f(t)=t2+2t+3;f(2a-1)=(2a-1)2+2(2a-1)+3=4a2+2;∵f(-1)=(-1)2+2×(-1)+3=2,∴f[f(-1)]=f(2)=22+2×2+3=11.【变式设问】在本例的条件下,若f(x)=11,则x的值是多少?提示:若f(x)=11,则x2+2x+3=11,解得x=-4或x=2.【针对训练2】已知函数f(x)=2+ax,若f(f(0))=4a.(1)求实数a的值;(2)计算f(3)-f(-1)的值.【解析】(1)因为f(0)=2,所以f(f(0))=f(2)=2+2a=4a,得a=1.(2)由(1)知,f(x)=2+x,所以f(3)=2+3=5,f(-1)=2-1=1,所以f(3)-f(-1)=5-1=4.探究3:函数定义域的求法【例3】求下列函数的定义域.(1)f(x)=1𝑥-2;(2)f(x)=𝑎𝑥-3(a为不等于0的常数).【方法指导】根据函数的定义域就是使解析式有意义的自变量的取值集合求解.【解析】(1)要使函数有意义,则有x-2≠0,故函数的定义域为{x|x≠2}.(2)要使函数有意义,则有ax-3≥0.当a0时,函数的定义域为{x|x≥3𝑎};当a0时,函数的定义域为{x|x≤3𝑎}.【变式设问】本例(2)改为:若f(x)=𝑎𝑥-3的定义域是[2,+∞),则a的值是多少?提示:若f(x)=𝑎𝑥-3的定义域是[2,+∞),则a0.由ax-3≥0,解得x≥3𝑎,∴3𝑎=2,解得a=32.【针对训练3】求下列函数的定义域.(1)y=𝑥+2+1𝑥2-x-6;(2)y=(𝑥+1)0|𝑥|-𝑥.【解析】(1)要使函数式有意义,则有𝑥+2≥0,𝑥2-x-6≠0,解得𝑥≥-2,𝑥≠-2且𝑥≠3,即x-2且x≠3.故所求函数的定义域为(-2,3)∪(3,+∞).(2)要使函数有意义,则有𝑥+1≠0,|𝑥|-𝑥≠0,即𝑥≠-1,|𝑥|≠𝑥,解得x0且x≠-1,故所求函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,0).1.相等函数的判断可以从函数的定义域和对应关系两个方面进行分析,对应关系的书写形式可以不一样,但必须满足定义域内一个自变量在两种对应关系下的值是相等的.2.函数值f(a)就是a在对应法则f下的对应值,因此由函数关系求函数值,只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得.求f(g(a))时,一般要遵循由里到外逐层计算的原则.3.在求函数的定义域时,列出使函数有意义的自变量所满足的不等关系式,求解即可得到函数的定义域.其依据有分式的分母不为0、偶次根式中被开方数不小于0、零次幂的底数不等于零等.4.当一个函数是由两个或两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使各部分都有意义的公共部分的取值集合.1.函数y=4-𝑥的定义域是().A.(-∞,4)B.(-∞,4]C.(4,+∞)D.[4,+∞)【解析】因为4-x≥0,所以x≤4,选择B.【答案】B2.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2+1,值域为{1,3}的同族函数有().A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】由x2+1=1,得x=0.由x2+1=3,得x=±2,所以函数的定义域可以是{0,2},{0,-2},{0,2,-2},故这样的同族函数共有3个.【答案】C3.把下列集合用区间表示出来.(1){x|𝑥-2𝑥2+1≥0}=;(2){x|-2≤x8,x≠1}=.【答案】(1)[2,+∞)(2)[-2,1)∪(1,8)4.已知f(x)=11+𝑥,g(x)=x2+2,求f(2),f(g(2)).【解析】f(2)=11+2=13.g(2)=22+2=6,故f(g(2))=f(6)=11+6=17.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的不动点,若f(f(x))=x,则称x为f(x)的稳定点,函数f(x)的不动点和稳定点的集合分别记为A和B,即A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}.(1)求证:A⊆B;(2)设f(x)=x2+ax+b,若A={-1,3},求集合B.【解析】(1)在A中任取元素x0,则f(x0)=x0,∴B中f(f(x0))=f(x0)=x0,∴A中的任意元素x∈B,∴A⊆B.(2)由题意得f(x)=x,即x2+(a-1)x+b=0的两根为x1=-1,x2=3,由根与系数的关系可得-1+3=1-𝑎,-1×3=𝑏,解得a=-1,b=-3,∴f(x)=x2-x-3.∴B中(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x,即(x2-x-3)2-x2=0,即(x+3)(x-3)(x+1)(x-3)=0,∴B={3,-3,-1,3}.素养名称数学抽象逻辑推理数学运算直观想象数学建模数据分析题号12,5,7,83,4,8611基础达标(水平一)1.下列对应是集合M上的函数的有().①M=Z,N=N*,对应法则f:对集合M中的元素,取绝对值与N中的元素对应;②M={1,-1,2,-2},N={1,4},对应法则f:x→y=x2,x∈M