高一数学课件等比数列的前n项和徐秋慧高一数学课件

等比数列的前n项和古印度国王舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔。国王问他想要什么，发明者说：“请在第一个格子里放上1粒麦子，在第二个格子里放上2粒麦子，在第三个格子里放上4粒麦子，在第四个格子里放上8粒麦子，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。国王觉得太容易了，就同意了他的要求。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？第第第第第一二三四……64格格格格格=18446744073709551615(粒)63212221人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子!假定千粒麦子的质量为10g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。等比数列前n项和公式的推导1243复习导入等比数列及前n项和an+1:an=qan=a1qn–1Sn=a1+a2+…+anSn-1=a1+a2+…+an-1(n1)an=Sn–Sn-1(n1)(一)用等比定理推导当q=1时Sn=na1因为所以Sn=a1+a2+a3+…….+an-1+an=a1+a1q+a1q2+…..+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)Sn=a1(1–qn)1–q1)(qSn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn两式相减有(1–q)Sn=a1–a1qn….Sn=……….Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1=a1（1+q+q2+…+qn-2+qn-1）2、求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的前n项和。1、等比数列1，2，4，8，…从第5项到第10项的和为S21212121410410SS21212116465qqaS或)1()1()1(22nnyxyxyx3、求和：例3某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)？分析：第1年产量为5第2年产量为5×(1+10%)=5×1.1第3年产量为5×(1+10%)×(1+10%)=5×1.12……第n年产量为11.15n则n年内的总产量为：121.151.151.155n解：由题意，从第1年起，每年的产量组成一个等比数列,na其中,30,1.1%101,51nSqa∴.301.111.115n即.6.11.1n两边取对数，得6.1lg1.1lgn∴5041.020.01.1lg6.1lgn（年）答：约5年内可以使总产量达到30万吨.印度还有一古老传说：在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓梵塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。不管这个传说是否可信，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序，一共需要移动多少次，那么，不难发现，不管把哪一片移到另一根针上，移动的次数都要比移动上面一片增加一倍。这样，移动第1片只需1次，第2片则需2次，第3片需4次，第64片需2的63次方次。全部次数为：18446744073709551615次这和“麦粒问题”的计算结果是完全相同的!假如每秒钟移动一次，共需要多长时间呢?一年大约有31556926秒，计算表明，移完这些金片需要5800多亿年!用数学的观点看问题，一些所谓不可理解的事就可以给出合理的解释，从而帮助我们用科学的态度认识世界。