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一、基础知识点:1、f(x)=ax+b,x[α,β],则:f(x)0恒成立<>f(x)0恒成立<>αβoxyf()0f()0f()0f()02、ax2+bx+c0在R上恒成立的充要条件是:______________________。a=b=0C0或a0Δ=b2-4ac0ax2+bx+c0在R上恒成立的充要条件是:______________________。a=b=0C0或a0Δ=b2-4ac03、a≥f(x)恒成立的充要条件是:_____________;a≤f(x)恒成立的充要条件是:_____________。a≥[f(x)]maxa≤[f(x)]min二、典型例题:例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30................(*)(1)当|x|≤2,(*)式恒成立,求实数m的取值范围;(2)当|m|≤2,(*)式恒成立,求实数x的取值范围.当1-m0时,即m1,(*)式在x[-2,2]时恒成立的充要条件为:解:(1)当1-m=0即m=1时,(*)式恒成立,故m=1适合(*);(1-m)•(-2)2+(m-1)•(-2)+30当1-m0时,即m1,(*)式在x[-2,2]时恒成立的充要条件为:△=(m-1)2-12(I-m)0,解得:-11m1;解得:1m23综上可知:适合条件的m的范围是:-11m。23则g(m)0恒成立g(-2)=3x2-3x+30g(2)=-x2+x+30解(2):设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3)(m[-2,2])即xR21312131x∴x(,)21312131例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30................(*)(1)当|x|≤2,(*)式恒成立,求实数m的取值范围;(2)当|m|≤2,(*)式恒成立,求实数x的取值范围.练习1:对于一切|p|≤2,p∈R,不等式x2+px+12x+p恒成立,则实数x的取值范围是:——————————。x-1或x3小结:1、一次函数型问题,利用一次函数的图像特征求解。2、二次函数型问题,结合抛物线图像,转化成最值问题,分类讨论。例2、①若不等式x2logax对x(0,)恒成立,则实数a的取值范围是————————。②若不等式x2-kx+20,对x[-3,3]恒成立,则实数k的取值范围是——————————。2110xy21y=x2y=logx16141在同一坐标系下作它们的图象如右图:①解:设y1=x2(x(0,))y2=logax21由图易得:≤a<1161≤a<1161y=x2+22-23-3211y=kxy=2x2y=-2x2②解:原不等式可化为:x2+2kx例2、①若不等式x2logax对x(0,)恒成立,则实数a的取值范围是————————————。②若不等式x2-kx+20,对x[-3,3]恒成立,则实数k的取值范围是——————————。21设y1=x2+2(x[-3,3])y2=kx在同一坐标系下作它们的图象如右图:由图易得:-2k222-2k222xy0小结:3、对于f(x)≥g(x)型问题,利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理。练习2、若≤kx-1对x[1,+)恒成立,则实数k的取值范围是:_____________。xk≥2例3、若不等式x+2≤a(x+y)对一切正数x、y恒成立,则实数a的取值范围是—————————。xy令(t0)txy解:分离参数得:a≥yxxy2x又令1+2t=m(m1),则f(m)=2)21m(1m2)m5m(4∴a≥[f(x)]max=即a≥215215(当且仅当m=时等号成立)521525245m22mm4xy1xy21恒成立2t1t21,则a≥(t0)恒成立小结:4、通过分离参数,将问题转化为a≥f(x)(或a≤f(x))恒成立,再运用不等式知识或求函数最值的方法,使问题获解。例4、已知a0,函数f(x)=ax-bx2,(1)当b1,证明对任意的x∈[0,1],|f(x)|≤1充要条件是:b-1≤a≤2;(2)当0b≤1,讨论:对任意的x∈[0,1],|f(x)|≤1充要条件。b∵x∈(0,1],b1∴bx+≥2(x=时取等号)bb1x1bx-≤a≤+bxx1x1解:(1)b1时,对x∈(0,1],|f(x)|≤1-1≤ax-bx2≤1bx2-1≤ax≤1+bx2故x∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为:b-1≤a≤2b∴(bx-)max=b-1(x=1时取得)x1又bx-在(0,1]上递增x1又x=0时,|f(x)|≤1恒成立∴x∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为:b-1≤a≤2b故(bx+)min=b+1(x=1时取得)x1(2)0b≤1时,对x∈(0,1],|f(x)|≤1恒成立此时(bx-)max=b-1(x=1时取得)x1故(*)式成立的充要条件为:b-1≤a≤b+1∴x∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为:0<a≤b+1……(*)x1x1(bx-)max≤a≤(bx+)min而bx+在(0,1]上递减x1又x=0时,|f(x)|≤1恒成立∴x∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为:0<a≤b+1又a0三、课时小结:2、二次函数型问题,结合抛物线图像,转化成最值问题,分类讨论。3、对于f(x)≥g(x)型问题,利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理。4、通过分离参数,将问题转化为a≥f(x)(或a≤f(x))恒成立,再运用不等式知识或求函数最值的方法,使问题获解。1、一次函数型问题,利用一次函数的图像特征求解。4、已知f(x)=(xR)在区间[-1,1]上是增函数。(1)求实数a的值所组成的集合A;(2)设关于x的方程f(x)=的两根为x1、x2,试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意aA及t[-1,1]恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由。1、当x(0,1)时,不等式x2loga(x+1)恒成立,则实数a的取值范围是_____________。3、若不等式ax2-2x+20对x(1,4)恒成立,求实数a的取值范围。2、若不等式|x-a|+|x-1|2对xR恒成立,则实数a的取值范围是_____________。2xax22四、课后练习:x1
本文标题:高三数学课件含参不等式恒成立高三数学课件
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