高三数学课件复数的概念1高三数学课件

4.1复数的概念Ssxxcyh4.1复数的概念知识回顾对于实系数一元二次方程，当时，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数4.1复数的概念自然数有理数整数无理数实数复数数系的扩充4.1复数的概念引入一个新数，叫做虚数单位，并规定：（1）它的平方等于-1，即（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．形如的数，叫做复数．全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示.NZQRCNZQR新授课很明显,引进虚数单位后,有i2=-1,(-i)2=i2=-1,所以方程x2=-1的解是x=±I虚数单位的幂的性质:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N)以上性质叫i的周期性.4.1复数的概念新授课复数的表示：通常用字母z表示，即当时，z是实数a．当时，z叫做虚数．当a=0且时，z=bi叫做纯虚数．实部虚部复数复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di有a=c，b=d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.bZ(a，b)aoyx点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.z=a+bi(a、b∈R)是复数的代数表示法共轭复数（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数）（2）复数z的共轭复数用ｚ表示．若z=a+bi(a、b∈R)，则z=a－bi（3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．（4）复平面内表示两个共轭复数的点z与ｚ关于实轴对称．例1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？例2复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？例3实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是:(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？例4已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.课堂练习：1.设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是()A.A∪B=CB.A=BC.A∩B=D.B∪B=C2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i为虚数，则实数x满足()A.x=－B.x=－2或－C.x≠－2D.x≠1且x≠－23.已知集合M=｛1，2，(m2－3m－1)+(m2－5m－6)i｝，集合P=｛－1，3｝.M∩P=｛3｝，则实数m的值为()A.－1B.－1或4C.6D.6或－14.满足方程x2－2x－3+(9y2－6y+1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是______.5.复数z=a+｜b｜i，z’=c+｜d｜i(a、b、c、d∈R)，则z=z’的充要条件是______.6.设复数z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是纯虚数，求m的值.7.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.8.已知m∈R，复数z=+(m2+2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R;(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=+4i.4.1复数的概念例1实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？解：（1）当，即时，复数z是实数．（2）当，即时，复数z是虚数．（3）当，且，即时，复数z是纯虚数．新授课小结：1．在理解复数的有关概念时应注意：（1）明确什么是复数的实部与虚部；（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；（3）弄清复平面与复数的几何意义；（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。2．复数集与复平面上的点注意事项：（1）复数中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。英文calculate（计算）一词是从希腊文calculus（石卵）演变来的。中国古藉《易．系辞》中说：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契。」直至1889年，皮亚诺才建立自然数序数理论。自然数返回零不仅表示「无」，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya）字，其原意也是「空」或「空白」。中国最早引进了负数。《九章算术．方程》中论述的「正负数」，就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果a，b是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。整数返回分数原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文·八部》对“分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。返回为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要引进无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度（即）不能是有理数。15世纪达芬奇（LeonardodaVinci,1452-1519）把它们称为是“无理的数”（irrationalnumber），开普勒（J.Kepler,1571-1630）称它们是“不可名状”的数。法国数学家柯西（A.Cauchy,1789-1875）给出了回答：无理数是有理数序列的极限。由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用“无限不循环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪中叶以前的实际做法。无理数返回实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19世纪20年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学家们认识到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，外尔斯特拉斯（1859年开始）、梅雷（1869）、戴德金（1872）与康托尔（1872）作出了杰出的贡献。实数返回复数从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开平方的问题。卡尔达诺在《大法》（1545）中阐述一元三次方程解法时，发现难以避免复数。关于复数及其代数运算的几何表示，是18世纪末到19世纪30年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于1843年提出了「四元数」的概念，其后不久，凯莱又用四元数的有序对定义了八元数。它们都被称为「超复数」，如果舍弃更多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。返回