高三数学课件数学归纳法1高三数学课件

数学归纳法高中《代数》系列课件之http:\\mrpan.k12.net.cne-mail:[e-mail]广东肇庆实验中学潘慧斌课前小测求下面数列的通项公式:2,6,12,20,30,42...1×2,2×3,3×4,4×5,5×6,6×7…an=n(n+1)知识目标：(1)理解“归纳法”和“数学归纳法”的含义和本质；(2)掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；(3)会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。能力目标：(1)初步掌握归纳与推理的方法；(2)培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。问题1：一个盒子里有十个乒乓球，如何证明里面的球全为橙色？问题2：请大家回忆，课本是如何得出等差数列的通项公式的？以上两个问题的异同点：归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。不完全归纳法的缺憾之处：仅根据一系列有限的特殊事例得出一般结论是要冒很大风险的，因为有可能产生不正确的结论。归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法问题3：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？例如：一个数列的通项公式是an=(n2-5n+5)2容易验证a1=1,a2=1,,a3=1,a4=1,如果由此作出结论：对于一切n∈N，an=(n2-5n+5)2=1都成立，那么就错了，因为a5=25≠1【结论】只有经过严格的证明，不完全归纳得出的结论才是正确的。问题4：若盒子里的乒乓球有无数个，如何证明它们全是橙色球呢？【结论】①证明第一次拿出的乒乓球是橙色的；②构造一个命题并证明，此命题的题设是：“若某一次拿出的球是橙色的”，结论是：“下次拿出的球也是橙色的”。以上两步都被证明，则盒子中的乒乓球全是橙色的。（该命题并不是孤立地研究“某一次”、“下一次”取的是橙球，而且由“某次取出的是橙球”来得到“下一次取出的也是橙球”的逻辑必然性，即一种递推关系）讨论：以上两个步骤如果都得到证明，是否能说明全部的乒乓球都是橙色的？数学归纳法的基本概念：它是自然数相关问题的一种证明方法。步骤:(1)证明当n取第一个值n0(1或2)时结论正确；(2)假设n=k(k∈N,k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论正确。最后，断定例题对于所有的自然数n都正确。问题5：在现实生活中有没有相似的“递推”思想的实例呢？（多米诺骨牌）问题6：这种思考方法能不能用来证明第二个问题呢？例1、用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，那么an=a1+(n-1)d对于一切n∈N都成立。证明:(1)当n=1时,左边是a1,右边是a1+0d=a1,等式是成立的。(2)假设当n=k时等式成立，就是ak=a1+(k-1)d那么，ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+[(k+1)-1]d这就是说，当n=k+1时，等式也成立。因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N都成立。例2、用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n-1)=n2证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。(2)假设当n=k时等式成立，就是1+3+5+…+(2k-1)=k2那么，1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+[2(k+1)-1]=(k+1)2这就是说，当n=k+1时，等式也成立。因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N都成立。【小结】(1)数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题。(2)两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立；(3）在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换。归纳法完全归纳法不完全归纳法数学归纳法穷举法可能错误，如何避免？递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉反馈练习用数学归纳法证明：1、1+2+3+…+n=n(n+1)/2(n∈N)；2、1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N)；3、首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式为：an=a1qn-1(n∈N)练习解答1、1+2+3+…+n=n(n+1)/2(n∈N)；证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。(2)假设当n=k时等式成立，就是1+2+3+…+k=k(k+1)/2那么，1+2+3+…+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)[(k+1)+1]/2这就是说，当n=k+1时，等式也成立。因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N都成立。2、1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N)证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。(2)假设当n=k时等式成立，就是1+2+22+…+2k-1=2k-1那么，1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k=2×2k-1=2k+1-1这就是说，当n=k+1时，等式也成立。因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N都成立。作业：P1211、①②再见！