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排列、组合复习课一、基本内容1、两个原理:①分类计数加法原理(加法原理):完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…..+mn种不同的方法.②分步计数乘法原理(乘法原理):完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×.…..×mn种不同的方法.③两个原理的区别:前者各种方法相互独立,用其中的任何一种方法都可以完成这件事;后者每个步骤相互依存,只有每个步骤都完成了,这件事才算完成。对前者的应用,如何分类是关键,如排数时有0没有0,排位时的特殊位置等;后者一般体现在先选后排。⒉排列与排列数定义:一般地,从n个不同元素中取出m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用表示.有关公式:⒊组合与组合数:定义:一般地,从n个不同元素中取出m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用表示。有关公式:⒋排列与组合的区别:前者先选出元素,再按一定的顺序排成一列,后者只要选出元素并成一组即可;两个排列相同当且仅当两个排列的元素完全相同,且元素的顺序也相同,如abc与acb是不同的排列;两个组合相同,只要元素完全相同,可从集合的观点来看,如{a,b,c}{a,c,b}是同一集合。⒌常用解题方法及适用题目类型⑴直接法:特殊元素法、特殊位置法(两者适用某一个或几个元素在指定的位置或不在指定的位置)、捆绑法(两个或两个以上的元素必须相邻)、插空法(两个或两个以上的元素必须不相邻)、挡板法(相同的元素分成若干部分,每部分至少一个)⑵间接法(排除法,正难则反的思想).⒍高考中考查的思想方法:分类、分步、对称、逆向思维、整体等.例1学校组织老师学生一起看电影,同一排电影票12张。8个学生,4个老师,要求老师在学生中间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法?解先排学生共有A88种排法,然后把老师插入学生之间的空档,共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有A74种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为A88A74种.结论1插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.例25个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?解因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有A66种排法,其中女生内部也有A33种排法,根据乘法原理,共有A66A33种不同的排法.结论2捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.分析此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.例3高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?解此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个隔板,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有种不同的放法,所以名额分配方案有种.结论3隔板法:解决指标分配问题分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.例4袋中有5分不同硬币23个,1角不同硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?解把所有的硬币全部取出来,将得到0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有种取法.结论4:剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.分析此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.例5、9人排成一行,下列情形分别有多少种排法?⑴甲不站排头,乙不站排尾点评:利用对称的思想,(一)先排甲(特殊元素优先考虑)(二)先排尾位(特殊位置优先考虑)(三)间接法练习:用0,1,2,3,4这五个数,组成没有重复数字的三位数,其中1不在个位的数共有_______种。分析:五个数组成三位数的全排列有个,0排在首位的有个,1排在末尾的有,减掉这两种不合条件的排法数,再加回百位为0同时个位为1的排列数(为什么?)故共有种。⑵甲乙必须排在一起,丙丁不能排在一起点评:小团体排列问题中,先整体后局部,再结合不相邻问题的插空处理。练习:(2005·辽宁)用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数,要求1与2相邻,3与4相邻,5与6相邻,而7与8不相邻,这样的八位数共有___________个.(用数字作答)将1与2,3与4,5与6捆绑在一起排成一列有种,再将7、8插入4个空位中的两个有种,故有种.引申:用1、2、3、4、5、6、组成没有重复数字的六位数,要求1与2相邻,3与4相邻,5与6相邻,现将7、8插进去,仍要求1与2相邻,3与4相邻,5与6相邻,那么八位数共有___________个.(用数字作答)[A3323(A42+A41A22)=960]⑶甲乙丙从左到右排列(固定顺序问题)分析:评:对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先将这几个元素与其它元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.引申:有三人从左到右顺序一定点评:定序问题除法处理分析:练习:有4名男生,3名女生。3名女生高矮互不等,将7名学生排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有多少种排法?⑷前排三人,中间三人,后排三人分析:引申:前排一人,中间二人,后排六人点评:分排问题直排处理练习:七人坐两排座位,第一排坐3人,第二排坐4人,则有多少种不同的坐法?分析:7个人,可以在前后排随意就坐,再无其他限制条件,故两排可看作一排处理,所以不同的坐法有种.⑸分成甲、乙、丙三组,甲组4人,乙组3人,丙组2人。分析:引申:①分成甲、乙、丙三组,一组4人,一组3人,一组2人分析:②分成甲、乙、丙三组,每组3人。分析:⑹分成三组,每组3人分析:引申:分成三组,一组5人,另两组各两人分析:点评:局部均分无序问题易出错实验法(穷举法)题中附加条件增多,直接解决困难时,用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。例将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格内,每个方格填1个,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有()A.6B.9C.11D.23分析:此题考查排列的定义,由于附加条件较多,解法较为困难,可用实验法逐步解决。第一方格内可填2或3或4。如填2,则第二方格中内可填1或3或4。若第二方格内填1,则第三方格只能填4,第四方格应填3。若第二方格内填3,则第三方格只能填4,第四方格应填1。同理,若第二方格内填4,则第三方格只能填1,第四方格应填3。因而,第一格填2有3种方法。不难得到,当第一格填3或4时也各有3种,所以共有9种。练习(不对号入座问题)(1)(2004湖北)将标号为1,2,3,……,10的10个球放入标号为1,2,3,……,10的10个盒子中,每个盒内放一个球,恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法有___________种(2)编号为1、2、3、4、5的五个球放入编号为1、2、3、4、5的五个盒子里,至多有2个对号入座的情形有___________种109直接法:间接法:住店法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解。例6七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数有()A.B.CD.分析:因同一学生可以同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将七名学生看作7家“店”,五项冠军看作5名“客”,每个“客”有7种住宿法,由乘法原理得种。注:对此类问题,常有疑惑,为什么不是呢?用分步计数原理看,5是步骤数,自然是指数。对应法例7在100名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场比赛失败要退出比赛),最后产生一名冠军,问要举行几场?分析:要产生一名冠军,需要淘汰掉冠军以外的所有选手,即要淘汰99名选手,淘汰一名选手需要进行一场比赛,所以淘汰99名选手就需要99场比赛。例8、高二(1)班从7人中选4人组成4×100m接力赛其中甲乙二人不跑中间两棒,有多少种选法?点评:排列组合综合题的解法应遵循在分类的基础上,先组合后排列的原则,分类与分步相结合,分类时做到不重复不遗漏.练习:(徐州二检)从6人中选4人组成4×100m接力赛,其中甲跑第一棒,乙不跑最后一棒,有多少种选法?分析:(一)直接法(二)间接法48例9、从正方体的6个面中任选3个,其中2个面不相邻的选法有多少种?练习:从正方体的8个顶点中选4个作四面体,则不同的四面体的个数为。58练习:(南通一检)一个三位数,其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735,414等),那么这样的三位数有个.285练习1某人射击8枪,命中4枪,那么命中的4枪中恰有3枪是连中的情形有几种?练习2一排8个座位,3人去坐,每人两边至少有一个空座的坐法有多少种?练习3马路上有编号为1,2,3,……10的十只路灯,为节约电而不影响照明,可以把其中的三只路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉马路两端的灯,问满足条件的关灯方法有多少种?练习4A、B、C、D、E五人站成一排,如果B必须站在A的右边,那么不同的站法有多少种?练习5某电路有5个串联的电子元件,求发生故障的不同情形数目?(A52)(A43)(C63)(A55/2)(25—1=31)三、小结本节课,我们对有关排列组合的几种常见的基本解法加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点,通过我们平时做的历届高考题,不难发现其应用题的特点是条件隐晦,难以挖掘,题目多变,解法独特,数字庞大,难以验证。同学们只有对基本的几种解法熟练掌握,然后再本着先分类再分步的原则,把复杂的问题简单化,才能做到举一反三,触类旁通,进而为下一章概率的学习打下坚实的基础。
本文标题:高三数学课件高三排列组合复习高三数学课件
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