高中数学331函数的单调性与导数教案新人教A版选修11

甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学3.3.1函数的单调性与导数教案新人教A版选修1-1了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会利用导数求函数的单调区间。2、过程与方法通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。3、情感、态度与价值观通过实例探究函数的单调性与导数的关系。通过这一过程，提高理性思维的能力。教学重难点重点：函数单调性和导数的关系；会根据导数判断函数的单调性；会利用导数求出函数的单调区间。难点：理解并掌握函数的单调性与导数的关系教学过程一、复习引入：1.常见函数的导数公式：0'C；1)'(nnnxx；xxcos)'(sin；xxsin)'(cos奎屯王新敞新疆xx1)'(ln奎屯王新敞新疆exxaalog1)'(log奎屯王新敞新疆xxee)'(奎屯王新敞新疆aaaxxln)'(2.法则1)()()]()(['''xvxuxvxu．法则2[()()]'()()()'()uxvxuxvxuxvx,[()]'()CuxCux奎屯王新敞新疆法则3'2''(0)uuvuvvvv奎屯王新敞新疆二、讲授新课1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数2()4.96.510httt的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数'()()9.86.5vthtt的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()ht是增函数．相应地，'()()0vtht．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即()ht是减函数．相应地，'()()0vtht．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．3.3-3，导数'0()fx如图表示函数()fx在点00(,)xy处的切线的斜率．在0xx处，'0()0fx，切线是“左下右上”式的，这时，函数()fx在0x附近单调递增；在1xx处，'0()0fx，切线是“左上右下”式的，这时，函数()fx在1x附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)ab内，如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递增；如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内是常函数．3．求解函数()yfx单调区间的步骤：（1）确定函数()yfx的定义域；（2）求导数''()yfx；（3）解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()fx的下列信息：当14x时，'()0fx；当4x，或1x时，'()0fx；当4x，或1x时，'()0fx试画出函数()yfx图像的大致形状．解：当14x时，'()0fx，可知()yfx在此区间内单调递增；当4x，或1x时，'()0fx；可知()yfx在此区间内单调递减；当4x，或1x时，'()0fx，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()yfx图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3fxxx；（2）2()23fxxx（3）()sin(0,)fxxxx；（4）32()23241fxxxx解：（1）因为3()3fxxx，所以，'22()333(1)0fxxx因此，3()3fxxx在R上单调递增，如图（1）所示．3.3-5（2）因为2()23fxxx，所以，'()2221fxxx当'()0fx，即1x时，函数2()23fxxx单调递增；当'()0fx，即1x时，函数2()23fxxx单调递减；函数2()23fxxx的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin(0,)fxxxx，所以，'()cos10fxx因此，函数()sinfxxx在(0,)单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241fxxxx，所以．当'()0fx，即时，函数2()23fxxx；当'()0fx，即时，函数2()23fxxx；函数32()23241fxxxx的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3．如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：1,2,3,4BADC思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()yfx在0,b或,0a内的图像“陡峭”，在,b或,a内的图像“平缓”．例4．求证：函数3223121yxxx在区间2,1内是减函数．证明：因为'22661262612yxxxxxx当2,1x即21x时，'0y，所以函数3223121yxxx在区间2,1内是减函数．说明：证明可导函数fx在,ab内的单调性步骤：（1）求导函数'fx；（2）判断'fx在,ab内的符号；（3）做出结论：'0fx为增函数，'0fx为减函数．例5．已知函数232()4()3fxxaxxxR在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围．解：'2()422fxaxx，因为fx在区间1,1上是增函数，所以'()0fx对1,1x恒成立，即220xax对1,1x恒成立，解之得：11a所以实数a的取值范围为1,1．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0fx；若函数单调递减，则'()0fx”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例6．已知函数y=x+x1，试讨论出此函数的单调区间.解：y′=(x+x1)′=1－1·x－2=222)1)(1(1xxxxx令2)1)(1(xxx＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令2)1)(1(xxx＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)奎屯王新敞新疆四、课堂练习：1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=3x－x3(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)2、设)x(fy是函数)x(fy的导数,)x(fy的图象如图所示,则)x(fy的图象最有可能是()小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？五、课堂小结：1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f′(x)0,则f(x)为增函数;如果f′(x)0,则f(x)为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.六、课后作业：课本习题3.3A组1，2【思考题】对于函数f(x)=2x3－6x2+7思考1、能不能画出该函数的草图？思考2、3276xx在区间（0，2）内有几个解？1．确定下列函数的单调区间(1)2yxx(2)3yxx2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间.