高中数学333函数的最大小值与导数教案新人教A版选修11

甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学3.3.3函数的最大（小）值与导数教案新人教A版选修1-1（包括端点ba,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤奎屯王新敞新疆教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．教学过程：一．创设情景我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x是函数yfx的极大（小）值点，那么在点0x附近找不到比0fx更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果0x是函数的最大（小）值，那么0fx不小（大）于函数yfx在相应区间上的所有函数值．二．新课讲授观察图中一个定义在闭区间ba,上的函数)(xf的图象．图中)(1xf与3()fx是极小值，2()fx是极大值．函数)(xf在ba,上的最大值是)(bf，最小值是3()fx．1．结论：一般地，在闭区间ba,上函数()yfx的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()yfx在ba,上必有最大值与最小值．说明：⑴如果在某一区间上函数()yfx的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()yfx在这个区间上连续．（可以不给学生讲）⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)ab内连续的函数)(xf不一定有最大值与最小值．如函数xxf1)(在),0(内连续，但没有最大值与最小值；⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，⑷函数)(xf在闭区间ba,上连续，是)(xf在闭区间ba,上有最大值与最小值的充分条件而非x3x2x1baxOy必要条件．（可以不给学生讲）2．“最值”与“极值”的区别和联系⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个奎屯王新敞新疆⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3．利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(xf的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．一般地，求函数)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(xf在(,)ab内的极值；⑵将)(xf的各极值与端点处的函数值)(af、)(bf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(xf在ba,上的最值奎屯王新敞新疆三．典例分析例1．（课本例5）求31443fxxx在0,3的最大值与最小值奎屯王新敞新疆解：由例4可知，在0,3上，当2x时，()fx有极小值，并且极小值为4(2)3f，又由于04f，31f因此，函数31443fxxx在0,3的最大值是4，最小值是43．上述结论可以从函数31443fxxx在0,3上的图象得到直观验证．例2．求函数5224xxy在区间2,2上的最大值与最小值奎屯王新敞新疆解：先求导数，得xxy443/令/y＝0即0443xx解得1,0,1321xxx导数/y的正负以及)2(f，)2(f如下表X-2（-2,-1）-1（-1,0）0（0,1）1（1,2）2y/－0＋0－0＋y13↘4↗5↘4↗13从上表知，当2x时，函数有最大值13，当1x时，函数有最小值4奎屯王新敞新疆y=x4-2x2+512108642-4-242xOy例3．已知23()logxaxbfxx,x∈(0,+∞).是否存在实数ab、,使)(xf同时满足下列两个条件：（1）)(xf)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）)(xf的最小值是1，若存在，求出ab、，若不存在，说明理由.解：设g(x)=xbaxx2∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.∴3)1(0)1('gg∴3101bab解得11ba经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.四．课堂练习1．下列说法正确的是()A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x)()A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能3．函数y=234213141xxx，在［－1，1］上的最小值为()A.0B.－2C.－1D.12134．求函数5224xxy在区间2,2上的最大值与最小值．5．课本练习五．回顾总结1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2．函数)(xf在闭区间ba,上连续，是)(xf在闭区间ba,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；3．闭区间ba,上的连续函数一定有最值；开区间),(ba内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值奎屯王新敞新疆4．利用导数求函数的最值方法．