高中数学人教A版必修4课时达标检测十九平面向量基本定理Word版含解析

课时达标检测（十九）平面向量基本定理一、选择题1．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②答案：B2．已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是()A．e1，e1＋e2B．e1－2e2，e2－2e1C．e1－2e2,4e2－2e1D．e1＋e2，e1－e2答案：C3．如图，在矩形ABCD中，若BC＝5e1，DC＝3e2，则OC＝()A.12(5e1＋3e2)B.12(5e1－3e2)C.12(3e2－5e1)D.12(5e2－3e1)答案：A4．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且AD＝a，BE＝b，则BC＝()A.43a＋23bB.23a＋43bC.23a－23bD．－23a＋23b答案：B5．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且OA＝a，OB＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则PR―→等于()A．a－bB．2(b－a)C．2(a－b)D．b－a答案：B二、填空题6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．答案：90°7．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若AM＝λAB＋μBC，则λ＋μ＝________.答案：238．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________.答案：23a－13b三、解答题9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得λ＝1，3λ＝－2⇒λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴m＋n＝3，－2m＋3n＝－1⇒m＝2，n＝1.∴c＝2a＋b.(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.10．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设AD＝a，AB＝b，试用a，b表示DC，EF，FC.解：∵DC∥AB，AB＝2DC，E、F分别是DC、AB的中点，∴FC＝AD＝a，DC＝AF＝12AB＝12b.EF＝ED＋DA＋AF＝－12DC－AD＋12AB＝－12×12b－a＋12b＝14b－a.11.如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则OC＝OD＋OE.在Rt△OCD中，∵|OC|＝23，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，∴|OD|＝4，|CD|＝2，故OD＝4OA，OE＝2OB，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.