高中数学人教A版选修11课件34生活中的优化问题举例课时2

3.4生活中的优化问题举例（2）生活中的优化问题举例内容：生活中的优化问题应用:1.磁盘的最大储存量问题2.成本最省问题本课主要学习生活中的优化问题。以复习上节课内容引入新课。通过合作交流，使学生发现如何使磁盘的储存量最大、成本最省问题，感受生活中的数学问题。本课给出2个例题和变式，通过解决这些问题，使学生熟悉利用导数解决生活中最优化问题的一般方法。突破将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题这一难点。本课采用例题与变式结合的方法巩固新知，例1是磁盘的最大储存量问题；例2是成本最省问题。通过学习使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，尝试数学建模的方法和导数在解决实际问题中的作用，体会导数的工具性．通过对生活中优化问题的探究过程，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，感受数学的应用价值，提高学习数学的兴趣．问题1：上节课我们学习过的海报板面设计问题、利润,问通常采取什么方法解决这一类问题呢？问题2：这些问题的共同点是什么？问题3：这些实际生活的问题能否用数学方法来解决？与哪部分数学知识有关？问题4：求函数最值的方法和步骤是什么？要用到哪些工具？问题5：在实际问题中求函数的最值还应该注意什么？磁盘的最大存储量问题问题：（1）你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？（2）你知道磁盘的结构吗？（3）如何使一个圆形磁盘存储尽可能多的信息呢？下面我们就来研究一下磁盘的最大存储量问题．【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上．磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域.磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）．为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n．为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数．问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？【解答】由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数.设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达Rrm.由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达2rn．所以，磁盘总存储量22()()RrrfrrRrmnmn．（1）它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大．（2）为求()fr的最大值，计算()0fr．2()(2)frRrmn．令()0fr，解得2Rr．当2Rr时，()0fr；当2Rr时，()0fr．因此2Rr时，磁盘具有最大存储量.此时最大存储量为22Rmn．变式训练1：在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？x6060x解法一：设箱底边长为xcm，则箱高602xhcm，得箱子容积260)(322xxhxxV)600(x．所以，23()602xVxx)600(x．令23()6002xVxx，解得0x（舍去），40x，所以，(40)16000V（cm3）．由题意可知，当(060)x，时，()Vx仅此一个极大值，因此，16000是最大值．答：当40xcm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3．解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(602)xcm，则得箱子容积xxxV2)260()()300(x．（后面同解法一，略）由题意可知，仅此一个极大值，因此，所以最大值出现在极值点处．例2．甲、乙两地相距400千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100km/h．已知该汽车每小时的运输成本t(元)关于速度x(km/h)的函数关系式是43111519200160txxx．（1）当汽车以60km/h的速度匀速行驶时，全程运输成本为多少元？（2）为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求出此时运输成本的最小值．成本最省问题解：（1）设全程运输成本为()fx，则43321140015()(15)6000(0100)19200160482fxxxxxxxx．当60xkm/h时，3215(60)606060001500482f（元）．（2）21()5(0100)16fxxxx，令x0f，得80x．当(080)x，时，()0fx，所以()fx是减函数；当(80100]x，时，()0fx，所以()fx是增函数．所以，当80xkm/h，()fx取极小值．又因()fx在(0100]，上只有一个极小值，所以(80)f是最小值．所以，32152000(80)808060004823 f（元）．变式训练2：一艘船的燃料费与船速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费是80元．已知船航行时其他费用为480元/小时，在20km航程中，船速多少时船行驶总费用最省？此时每小时费用等于多少？解：由于28010k，所以45k．设船速为xkm/h时，总费用为y，则24202096004801605yxxxxxx，．令0y，即29600160x，则106x．106x是函数y在(0)，+上唯一极值点，从而使最小值点．当106x时，9600161064006106（元）．于是2040061200106（元/小时）．答：船速为106时船行驶总费用最省，此时每小时费用等于1200元．1.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积222SRhR由2VRh，得2VhR，则2222()222VVSRRRRRR令'22()40VSRRR解得，32VR，从而3322342()2VVVVhRV即2hR，因为()SR只有一个极小值，所以它是最小值奎屯王新敞新疆答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省奎屯王新敞新疆.2.当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：222222SRSRhRhR．所以，2223211()(2)222SRVRRSRRSRRR．令()0VR22266222SRRRhRhR．1．实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来．首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质；其次，建立相应的数学模型,将应用问题转化为数学问题，再解．2．用导数求解优化问题的基本步骤：（1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，列出适当的函数关系式()yfx，并确定函数的定义区间；（2）求()fx，解方程()0fx，得出所有实数根；（3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值．即解优化问题的基本思路是：数学思想：数形结合和转化思想．作答解决数学模型建立数学模型优化问题用函数表示数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案必做题：课本P37B组1，2．选做题：1.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元．（Ⅰ）将V表示成r的函数()Vr，并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数()Vr的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．2.某造船公司年最高造船量是20艘.已知造船x艘的产值函数R(x)=3700x+45x2–10x3(单位：万元),成本函数为C(x)=460x+5000(单位：万元).又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为:Mf(x)=f(x+1)–f(x).求:（提示：利润=产值–成本）(1)利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(2)年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?(3)边际利润函数MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解：⑴P(x)=R(x)–C(x)=–10x3+45x2+3240x–5000MP(x)=P(x+1)–P(x)=–30x2+60x+3275(其中xN且x[1,20]).⑵∵()Px=–30x2+90x+3240=–30(x+9)(x–12)∴当1x12时,()Px0,P(x)单调递增,当12x20时,()Px0,P(x)单调递减.∴x=12时,P(x)取最大值,即年建造12艘船时,公司造船的年利润最大.⑶由MP(x)=–30(x–1)2+3305(xN且x[1,20]).∴当1x≤20时，MP(x)单调递减.MP(x)是减函数说明:随着产量的增加,每艘利润与前一台比较,利润在减少.3．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；房间的单价每增加10元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费20元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大20)50()50)(10180(xxxW8000340102xx17,0)('xxW求得令17,0)('xxW时当17,0)('xxW时；当最大，利润当Wx17（元）此时房价为：3501710180