高中数学人教版A版必修一配套课件212指数函数及其性质二

2.1.2指数函数及其性质(二)第二章2.1指数函数1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断；2.能借助指数函数性质比较大小；3.会解简单的指数方程，不等式；4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学新知探究点点落实知识点一不同底指数函数图象的相对位置思考y＝2x与y＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？答案答案经描点观察，在y轴右侧，2x＜3x，即y＝3x图象在y＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图象上方.一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.(2)指数函数y＝ax与y＝1ax(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称.知识点二比较幂的大小思考若x1＜x2，则与(a＞0且a≠1)大小关系如何？答案1xa2xa答案a＞1时，y＝ax在R上为增函数，所以＜，1xa2xa0＜a＜1时，y＝ax在R上为减函数，所以＞.1xa2xa答案一般地，比较幂大小的方法有：(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的的变化规律来判断；(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过来判断.单调图象中间值知识点三解指数方程、不等式思考若＜，则x1，x2大小关系如何？答案1xa2xa当a＞1时，1xa＜2xa⇔x1＜x2.答案当f(x)在区间[m，n]上单调递增(减)时，若x1，x2∈[m，n]，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2(x1＞x2).所以，当0＜a＜1时，1xa＜2xa⇔x1＞x2，此原理可用于解指数方程、指数不等式.答案简单指数不等式的解法：(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的求解；(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的求解；(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.单调性单调性知识点四与指数函数复合的函数单调性答案思考11()2xy的定义域与y＝1x的定义域是什么关系？11()2xy的单调性与y＝1x的单调性有什么关系？答案由于y＝ax(a＞0且a≠1)的定义域为R，故的定义域与y＝1x的定义域相同，故研究的单调性，只需在y＝1x的定义域内研究.若设0＜x1＜x2，则1x1＞1x2，，不等号方向的改变与y＝12x，y＝1x的单调性均有关.121111()()22xx＜11()2xy11()2xy返回答案一般地，有：形如y＝af(x)(a0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有的定义域.(2)当a1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有的单调性；当0a1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性.相同相同相反题型探究重点难点个个击破类型一比较大小例1比较下列各题中两个值的大小：(1)1.7－2.5,1.7－3；解析答案解∵1.7＞1，∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数.∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.解析答案(2)1.70.3,1.50.3；方法二∵1.50.3＞0，且1.70.31.50.3＝1.71.50.3，解方法一∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方.而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.又1.71.5＞1,0.3＞0，∴1.71.50.3＞1，∴1.70.3＞1.50.3.反思与感悟解析答案(3)1.70.3,0.83.1.解∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，∴1.70.3＞0.83.1.解析答案跟踪训练1比较下列各题中的两个值的大小.(1)0.8－0.1,1.250.2；解∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是减函数.∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，即0.8－0.1＜1.250.2.解析答案(2)1π－π,1.解∵0＜1π＜1，∴函数y＝1πx在R上是减函数.又∵－π＜0，∴1π－π＞1π0＝1，即1π－π＞1.类型二解指数方程例2解下列关于x的方程：(1)81×32x＝19x＋2；解析答案解∵81×32x＝19x＋2，∴32x＋4＝3－2(x＋2)，∴2x＋4＝－2(x＋2)，∴x＝－2.解析答案(2)22x＋2＋3×2x－1＝0.解得t＝14或t＝－1(舍去).解∵22x＋2＋3×2x－1＝0，∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，∴2x＝14，解得x＝－2.反思与感悟解析答案跟踪训练2已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)，若f[g(1)]＝1，则a等于()A.1B.2C.3D.－1解析∵g(x)＝ax2－x，∴g(1)＝a－1.∵f(x)＝5|x|，∴f[g(1)]＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，∴|a－1|＝0，∴a＝1.A类型三解指数不等式例3解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a0，且a≠1).解析答案解(1)当0a1时，∵a2x＋1≤ax－5，∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.(2)当a1时，∵a2x＋1≤ax－5，∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.综上所述，当0a1时，不等式的解集为{x|x≥－6}；当a1时，不等式的解集为{x|x≤－6}.反思与感悟解析答案跟踪训练3已知(a2＋a＋2)x(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________.解析∵a2＋a＋2＝(a＋12)2＋741，∴(a2＋a＋2)x(a2＋a＋2)1－x⇔x1－x⇔x12.∴x∈(12，＋∞).(12，＋∞)类型四与指数函数复合的单调性问题解析答案反思与感悟例4设a是实数，f(x)＝a－22x＋1(x∈R)，试证明对于任意a，f(x)为增函数.解析答案跟踪训练4已知函数f(x)＝2ax＋2(a为常数).(1)求函数f(x)的定义域；(2)若a0，试证明函数f(x)在R上是增函数；解函数f(x)＝2ax＋2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R.解任取x1，x2∈R，且x1x2，由a0得ax1＋2ax2＋2.因为y＝2x在R上是增函数，所以有即f(x1)f(x2).122222,axax所以函数f(x)在R上是增函数.解析答案返回(3)当a＝1时，求函数y＝f(x)，x∈(－1,3]的值域.解由(2)知当a＝1时，f(x)＝2x＋2在(－1,3]上是增函数.所以f(－1)f(x)≤f(3)，即2f(x)≤32.所以函数f(x)的值域为(2,32].123达标检测451.若则a、b、c的大小关系是()A.a＞b＞cB.a＜b＜cC.a＜c＜bD.b＜c＜a解析∵y＝0.5x在R上是减函数，且12＞13＞14，1113240.5,0.5,0.5,abc解析答案1113240.50.50.5.＜＜B123452.方程42x－1＝16的解是()A.－32B.32C.1D.2解析答案解析42x－1＝42，∴2x－1＝2，x＝32.B123453.设0＜a＜1，则关于x的不等式的解集为________.解析答案22232223xxxxaa－＋＋－＞解析∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是减函数，又∵22232223,xxxxaa－＋＋－＞∴2x2－3x+2＜2x2+2x－3解得x＞1.(1，＋∞)123454.若指数函数y＝ax在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________.解得a＝－1＋52或a＝－1－52(舍去).解析若0a1，则a－1－a＝1，即a2＋a－1＝0，若a1，则a－a－1＝1，即a2－a－1＝0，解得a＝1＋52或a＝1－52(舍去).综上所述a＝5±12.解析答案5±12123455.用函数单调性定义证明a＞1时，y＝ax是增函数.解析答案证明设x1，x2∈R且x1＜x2，并令x2＝x1＋h(h＞0)，则有21111(1)xxxhxxhaaaaaa＋－＝－＝－，∵a＞1，h＞0，101xhaa＞，＞，210xxaa－＞，即12,xxaa＜故y＝ax(a＞1)为R上的增函数.规律与方法1.比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性.(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则ambn；若amc且cbn，则ambn.2.解简单指数不等式问题的注意点(1)形如axay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解.如果a的值不确定，需分0a1和a1两种情况进行讨论.(2)形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解.(3)形如axbx的不等式，可借助图象求解.返回