高中数学人教版选修12同课异构教学课件2212分析法探究导学课型

第2课时分析法主题：分析法【自主认知】证明不等式：成立，可用下面的方法进行.证明：要证明由于只需证明展开得只需证明67，显然67成立.所以成立.3222732227，3220270，，2232227．11461147，32227据上面的内容，回答下列问题(1)本题证明从哪里开始？提示：从结论开始.(2)证题思路是什么？提示：寻求每一步成立的充分条件.➡根据以上探究过程，试着写出分析法的定义及流程.1.分析法的定义一般地，从要证明的_____出发，逐步寻求使它成立的_________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个_________的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法.又叫逆推证法或执果索因法.结论充分条件明显成立2.分析法的流程其中Q表示要证明的结论，P1，P2，P3，…，P分别表示使Q，P1，P2，…，Pn成立的_____条件，P表示最后寻求到的一个明显成立的条件.充分【合作探究】1.分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：分析法的推理过程是演绎推理，因为分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的结论都是正确的，不同于合情推理中的猜想.2.分析法的证题思路是什么？提示：分析法的基本思路是“执果索因”.由求证走向已知，即从数学题的待证结论或需要求证的问题出发，一步一步探索下去，最后寻找到使结论成立的一个明显成立的条件，或者是可以证明的条件.3.分析法证题的模式一般是什么？提示：“要证……”“只需证……”“即证……”的语言模式.【拓展延伸】综合法与分析法证明格式的区别(1)综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件.它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立.(2)分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件，它的证明格式：要证×××，只需证明×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立.【过关小练】1.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设abc，且a+b+c=0，求证则证明的依据应是()A.a-b0B.a-c0C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)02bac3a＜，【解析】选C.⇔b2-ac3a2⇔(a+c)2-ac3a2⇔(a-c)(2a+c)0⇔(a-c)(a-b)0.2bac3a＜2.证明不等式(a≥2)成立所用的最适合的方法是.【解析】由于此式两边都有根号，由其特点可用分析法证明此不等式.答案：分析法a1aa1a2【归纳总结】1.对分析法的两点说明(1)思维方法：分析法是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至找到已知事实的方法.(2)分析法的形式：“结论→需知1→需知2→…→已知”.2.分析法与综合法的区别与联系综合法分析法区别符号表示A(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn⇒B(结论)B(结论)⇐P1⇐P2⇐…⇐Pn⇐A(已知)特点从“已知”看“可知”，逐步推向未知，其逐步推理，实际上是步步寻找上一步的必要条件.可概括为“由因导果”从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是步步寻找上一步的充分条件.可概括为“执果索因”综合法分析法联系(1)用综合法和分析法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆(2)有的问题单纯用二者之一不能奏效时，可二者兼用，一般先分析后综合类型一：分析法证明不等式【典例1】设a，b为实数，求证：【解题指南】讨论成立的条件，分a+b≥0和a+b0两种情况.222abab2．222abab2【证明】若a+b0，显然成立.若a+b≥0，要证成立，只需证a2+b2≥(a+b)2成立，即证a2+b2≥(a2+2ab+b2)成立，即证(a2-2ab+b2)≥0，即(a-b)2≥0成立，222abab2222abab212121212因为(a-b)2≥0成立，且以上每步都可逆.所以a+b≥0时，成立，综上可知：a，b为实数时，成立.222abab212222abab2【延伸探究】若本例改为“已知a0，b0，求证”，如何证明？【证明】要证只需证即证(a-b)()≥0，因为a0，b0，所以a-b与符号相同，不等式(a-b)()≥0成立，所以原不等式成立.ababbaababbaaabbabba，ababab【规律总结】分析法证明不等式的依据、方法与技巧(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法.而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法.(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语.【巩固训练】当a≥2时，求证【证明】要证只需证只需证只需证只需证a1aa1a2.＜a1aa1a2＜，a1a2aa1＜，22a1a2aa1＜，a1a22a1a2aa12aa1.＜(a1)a2aa1＜，只需证(a+1)(a-2)a(a-1)，即证-20，而-20显然成立，所以成立.a1aa1a2＜【补偿训练】当实数a，b满足什么条件时，成立.【解析】要只需只需ab+(a-b)+2只需20，只需a0，b0，a-b0，即a，b要满足的条件为ab0.abab＜abab＜，abab＜，bab，bab类型二：分析法证明其他问题【典例2】求证：以过抛物线y2=2px(p0)焦点的弦为直径的圆必与直线x=相切.【解题指南】p2【证明】如图所示，过点A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，B′，取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′，要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|=|AB|.由抛物线的定义有|AA′|=|AF|，|BB′|=|BF|，12所以|AB|=|AA′|+|BB′|，因此只需证|MM′|=(|AA′|+|BB′|).根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y2=2px焦点的弦为直径的圆必与直线x=相切.12p2【规律总结】分析法证明问题的两个关键点(1)利用分析法证明时，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误.(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.【巩固训练】如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求证：AF⊥SC.【证明】要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC).只需证AE⊥平面SBC，只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB)，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC)，由SA⊥平面ABC可知，BC⊥SA成立.所以AF⊥SC.【补偿训练】若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：为偶函数.【证明】记F(x)=欲证F(x)为偶函数，只需证F(-x)=F(x)，即证由已知，函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称，而函数f(x)与f(-x)的图象也是关于y轴对称的，1f(x)21f(x)2，11f(x)f(x).22所以f(-x)=f(x+1).于是有所以为偶函数.11f(x)f[(x)]2211f[(x)1]f(x).221f(x)2类型三：综合法与分析法的综合应用【典例3】已知a，b，c表示△ABC的三边长，m0，求证：【解题指南】根据在△ABC中任意两边之和大于第三边，再利用分析法与综合法结合证明不等式成立.abc.ambmcm＞【证明】要证明只需证明即可，所以因为a0，b0，c0，m0，所以(a+m)(b+m)(c+m)0.abc.ambmcm＞abc0ambmcm＞abcambmcmabmcmbamcmcambmambmcm因为a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)=abc+abm+acm+am2+abc+abm+bcm+bm2-abc-bcm-acm-cm2=2abm+am2+abc+bm2-cm2=2abm+abc+(a+b-c)m2.因为△ABC中任意两边之和大于第三边，所以a+b-c0，所以(a+b-c)m20，所以2abm+abc+(a+b-c)m20，所以abc.ambmcm＞【延伸探究】1.(变换条件)本例增加条件“三个内角A，B，C成等差数列”求证：【证明】要证即证即证即证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，即证c2+a2=ac+b2.113.abbcabc113abbcabc，abcabc3abbc，ca1.abbc因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B=60°.由余弦定理，有b2=c2+a2-2cacos60°，即b2=c2+a2-ac.所以c2+a2=ac+b2成立，即命题得证.2.(改变问法)证明：【证明】要证只需证a+b+(a+b)c(1+a+b)c.即证a+bc.而a+bc.显然成立.所以abc.1ab1c＞abc1ab1c＞，abc.1ab1c＞【规律总结】综合法、分析法的应用(1)综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路.(2)在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证.(3)在实际解决问题中，先分析由条件能产生什么结论，再分析要产生需要的结论需要什么条件，逐步探求两者之间的联系，寻找解答突破口，确定解题步骤，然后用综合法写出解题的过程.【巩固训练】设a，b，c均为大于1的正数，且ab=10.求证：logac+logbc≥4lgc.【证明】由于a1，b1，故要证明logac+logbc≥4lgc，只要证明≥4lgc，又c1，故lgc0，所以只需证明≥4，即≥4，lgclgclgalgb11lgalgblgalgblgalgb因为ab=10，故lga+lgb=1.只需证明≥4，(*)由于a1，b1，故lga0，lgb0，所以0lga·lgb≤即(*)式成立，所以原不等式成立.1lgalgb22lgalgb11()()224，【补偿训练】设a，b是相异的正数，求证：关于x的一元二次方程(a2+b2)x2+4abx+2ab=0没有实数根.【证明】要证明(a2+b2)x2+4abx+2ab=0没有实数根，只需证Δ0即可.因为Δ=(4ab)2-4(a2+b2)·2ab=16a2b2-8a3b-8b3a=8ab(2ab-a2-b2)=-8ab(a2-2ab+b2)=-8ab(a-b)2.因为a，b是相异的正数，所以ab0，(a-b)20，所以-8ab(a-b)20.所以该一元二次方程没有实数根.