高中数学人教版选修12同课异构教学课件321复数代数形式的加减运算及其几何意义探究导学课

3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义主题一：复数的加法【自主认知】1.设向量分别表示复数z1，z2，那么向量表示的复数应该是什么？提示：表示的复数是z1+z2.12OZOZ，12OZOZ12OZOZ2.设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为那么向量的坐标分别是什么？提示：＝(a，b)，＝(c，d)，＝(a＋c，b＋d).12OZOZ，，1212OZOZOZOZ，，1OZ2OZ12OZOZ➡根据以上探究过程，总结出复数加法的运算法则、运算律及其几何意义：1.复数的加法法则：(a+bi)+(c+di)=_____________(a，b，c，d∈R).2.复数加法的运算律对任意z1，z2，z3∈C，交换律：z1+z2=z2+z1，结合律：(z1+z2)+z3=__________.(a+c)+(b+d)iz1+(z2+z3)3.复数加法的几何意义：复数z1+z2是以为邻边的平行四边形的__________所对应的复数.12OZOZ，OZ对角线【合作探究】1.两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？提示：仍然是个复数，且是一个确定的复数.2.复数的加法可以按照向量的加法来进行吗？提示：可以，这是复数加法的几何意义.【过关小练】1.复数z1=2-i，z2=-2i，则z1+z2等于()【解析】选C.z1+z2=121235A.0B.i225553C.iD.i2222112i(2i)2211552(2)ii.22222.在复平面内，向量对应的复数为3-4i，点B对应的复数为-2+2i，则向量对应的复数为()A.5-6iB.1-2iC.-5+6iD.5-2i【解析】选B.由复数加法运算的几何意义知，对应的复数即为(3-4i)+(-2+2i)，即1-2i.OAOAOBOAOB主题二：复数的减法【自主认知】1.规定：复数的减法是加法的逆运算，若复数z=z1-z2，则复数z1等于什么？提示：z1=z+z2.2.设复数z1=a+bi(a，b∈R)，z2=c+di(c，d∈R)，z=x+yi(x，y∈R)，代入z1=z+z2，由复数相等的充要条件得x，y分别等于什么？提示：x=a-c，y=b-d.3.根据上述分析，设复数z1=a+bi(a，b∈R)，z2=c+di(c，d∈R)，则z1-z2等于什么？提示：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.➡根据以上探究过程，总结出复数减法的运算法则及其几何意义：1.复数的减法法则：(a+bi)-(c+di)=_____________(a，b，c，d∈R).2.复数减法的几何意义：复数z1-z2是连接向量的_____，并指向_________的向量所对应的复数.(a-c)+(b-d)i12OZOZ，终点被减向量21ZZ【合作探究】1.设复数z1=a+bi，z2=c+di对应的向量分别为则①复数z1-z2对应的向量是什么？②|z1-z2|的几何意义是什么？提示：①②|z1-z2|表示复数z1，z2对应复平面内的两点Z1，Z2之间的距离.12OZOZ，，1221OZOZZZ.2.设z1，z2均为复数，则当z1-z20时，是否一定有z1z2？提示：不一定.z1-z20只能说明z1-z2的结果是一个实数.而z1，z2本身可能是虚数，不能比较大小.例如：z1=3+i，z2=1+i，虽有z1-z2=20，但不能推出3+i1+i.【拓展延伸】复数模的不等式、恒等式若z1，z2∈C，则有(1)||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|，当z1，z2所对应的向量同向时，右端等号成立；当z1，z2所对应的向量反向时，左端等号成立.(2)||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|，当z1，z2所对应的向量同向时，左端等号成立；当z1，z2所对应的向量反向时，右端等号成立.(3)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2.12OZOZ与12OZOZ与12OZOZ与12OZOZ与【过关小练】1.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)的结果为()A.5-3iB.3+5iC.7-8iD.7-2i【解析】选C.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)=(6-1)+(-3-3)i+(2-2i)=5+(-6)i+(2-2i)=(5+2)+(-6-2)i=7-8i.2.在复平面内，复数z=(1+2i)-(3-5i)所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.z=(1+2i)-(3-5i)=(1-3)+(2+5)i=-2+7i，故z所对应的点为(-2，7)，在第二象限.【归纳总结】1.对复数加法的三点说明(1)复数的加法运算法则是一种规定.当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致.(2)两个复数的和仍是一个复数.两个复数的和是以这两个复数的实部之和为实部，两个复数的虚部之和为虚部的复数.(3)复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义.2.对复数减法的三点说明(1)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，两个复数的差仍是一个复数.两个复数的差是以这两个复数的实部之差为实部，两个复数的虚部之差为虚部的复数.(2)设复数z1=a+bi，z2=c+di，则z1±z2=(a±c)+(b±d)i，类似于把i看成未知数的多项式加减法中的合并同类项.(3)两个复数的和差仍然是个确定的复数，实数中加法运算的交换律和结合律在复数中仍然适用.类型一：复数代数形式的加、减运算【典例1】(1)计算(3+i)-(2+i)的结果为()A.1B.-iC.5+2iD.1-i(2)计算：①(2+2i)+(1-4i)-(5+7i).②-i-[(3-4i)-(-1-3i)].③(x+yi)-(3x-2yi)-4i(x，y∈R).【解题指南】(1)把括号去掉，实部与虚部分别计算.(2)两个复数相加(减)，将这两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)，所得的结果分别作为和(差)的实部和虚部.【解析】(1)选A.(3+i)-(2+i)=1.(2)①(2+2i)+(1-4i)-(5+7i)=(2+1-5)+(2-4-7)i=-2-9i.②-i-[(3-4i)-(-1-3i)]=-i-(4-i)=-4.③(x+yi)-(3x-2yi)-4i=(x-3x)+(y+2y-4)i=-2x+(3y-4)i(x，y∈R).【规律总结】复数代数形式的加、减法运算技巧(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部.(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.【巩固训练】计算：(1)(1+3i)+(-2+i)+(2-3i).(2)(2-i)-(-1+5i)+(3+4i).(3)5i-[(3+4i)-(-1+3i)].(4)(a+bi)-(3a-4bi)+5i(a，b∈R).【解析】(1)原式=(-1+4i)+(2-3i)=1+i.(2)原式=(3-6i)+(3+4i)=6-2i.(3)原式=5i-(4+i)=-4+4i.(4)原式=(-2a+5bi)+5i=-2a+(5b+5)i.【补偿训练】1.若复数z满足z+2-3i=-1+5i，则复数z=()A.3-8iB.-3-8iC.3+8iD.-3+8i【解析】选D.由z+2-3i=-1+5i，得z=(-1+5i)-(2-3i)=-3+8i.2.设z1=x+2i，z2=3-yi(x，y∈R)，且z1+z2=5-6i，则z1-z2=.【解析】因为z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i，所以(3+x)+(2-y)i=5-6i，所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.答案：-1+10i3x5x22y6y8.，，所以所以，类型二：复数加减运算的几何意义【典例2】(1)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量对应的复数分别是3+i，-1+3i，则对应的复数是()A.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2i(2)已知平行四边形的三个顶点分别对应复数2i，4-4i，2+6i.求第四个顶点对应的复数.OAOB，CD【解题指南】(1)根据复数与向量的对应关系转化为向量的减法求解.(2)根据题设条件可知，第四个顶点有3种不同情况，然后分情况利用复数加减法求解.【解析】(1)选D.由于所以对应的复数为(3+i)-(-1+3i)=4-2i.(2)如图，设这个平行四边形已知的三个顶点分别为Z1，Z2，Z3，它们对应的复数分别是z1=2i，z2=4-4i，z3=2+6i，第四个顶点所对应的复数为z4，则CDBAOAOB，CD①当这个平行四边形是以Z1Z2和Z1Z3为一组邻边时，有所以z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1)，z4=(z2+z3)-z1=6.②当这个平行四边形是以Z1Z2和Z2Z3为一组邻边时，有所以z4-z2=(z1-z2)+(z3-z2).所以z4=(z1+z3)-z2=-2+12i.141213ZZZZZZ，242123ZZZZZZ.③当这个平行四边形是以Z3Z1和Z3Z2为一组邻边时，有所以z4-z3=(z1-z3)+(z2-z3).所以z4=(z1+z2)-z3=2-8i.综上所述，这个平行四边形的第四个顶点对应的复数为6或-2+12i或2-8i.343132ZZZZZZ.【延伸探究】将题(2)中条件改为“如图所示，平行四边形ABCD的顶点A，B，D分别对应的复数为2i，4-4i，2+6i”，求(1)对角线对应的复数.(2)对角线对应的复数.DBAC【解析】(1)因为，所以对角线对应的复数为(4-4i)-(2+6i)=2-10i.(2)因为所以对角线对应的复数为(2+6i)-2i+4-4i-2i=6-2i.DBOBODDBACADABODOAOBOA，AC【规律总结】复数加减法的几何意义在复数运算中的应用(1)复数加法、减法的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时，主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算.(2)由于复数可用向量表示，因而可将复数问题转化为向量问题，利用向量的方法解决.(3)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1+z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|=|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为正方形.提醒：复数的加减运算可类比向量的坐标运算，这样更易理解.【巩固训练】在复平面上，复数-1+i，0，3+2i所对应的点分别是A，B，C，则□ABCD的对角线BD的长为()【解析】选B.对应复数-1+i，对应复数3+2i，则对应的复数为(-1+i)+(3+2i)=2+3i，则故选B.A.2B.13C.17D.13BABCBD22|BD|2313，【补偿训练】已知复平面内三点A，B，C，A点对应的复数为3+2i，向量对应的复数为2+i，向量对应的复数为1-i，求点C对应的复数.【解析】因为对应的复数为2+i，向量对应的复数为1-i，所以所对应的复数为(1-i)-(2+i)=-1-2i.又因为所以点C对应的复数为(3+2i)+(-1-2i)=2.BABCBCACBCBAOCOAAC，BA类型三：复数模的最值问题【典例3】(1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2