高二数学人教A版选修21课件221椭圆及其标准方程共34张ppt

2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．（重点）2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.（重点、难点）实验操作(1)取一条定长的细绳；(2)把它的两端都固定在图板的同一点处；(3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆.探究点1椭圆的定义根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？思考：结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？椭圆定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.|MF1|+|MF2|＞|F1F2|椭圆|MF1|+|MF2|=|F1F2|线段|MF1|+|MF2|＜|F1F2|不存在思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？【提升总结】探究点2椭圆的标准方程根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？（1）建系设点;（2）写出点集；（3）列出方程；（4）化简方程；（5）检验.第一步：如何建立适当的坐标系呢？想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？OxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于2a(2a2c0).请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则F1，F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).xF1F2MOy122||||.MFMFa222212||(),||(),MFxcyMFxcy22222()().xcyxcya所以由椭圆的定义得因为222222244()()(),xcyaaxcyxcy222(),acxaxcy移项，再平方222221.xyaac整理得4222222222222,aacxcxaxacxacay两边再平方，得22222222()(),acxayaac222()aac两边同除以，得：222210().xyabab所以的方程椭圆为222-0(),bacab解令：1F2FxyOP22-,,acac请看图片：你能从图中找出表示的线段吗？ac22ca222210().yxabab似的也可以得到的方程类椭圆为2222210.()yxabab也把形如叫做椭圆的标准方程，2222110.xyabab我们把形如的方程叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在y轴上的椭圆.它表示焦点在x轴上的椭圆.1oFyx2FM12yoFFMx（1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1;（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上;（3）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2.椭圆的标准方程有哪些特征呢？【提升总结】例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点.求它的标准方程.53(,)22解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为22221(0).xyabab由椭圆的定义知222253532(2)()(2)()2102222a又因为,所以2c因此,所求椭圆的标准方程为221.106xy2221046.bac所以10.a能用其他方法求它的方程吗？另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为:22221(0).xyabab224.ab22532222()()1ab又由已知，①②联立①②,22106ab解得，因此,所求椭圆的标准方程为:221.106xy(2,0),(2,0)，又∵焦点的坐标为【变式练习】已知椭圆经过两点和，求椭圆的标准方程.)25,23()5,3(221(0,0,),mxnymnmn解：设椭圆的标准方程为222235()()122(3)(5)1mnmn，，11,.610mn则有解得221610xy所以，所求椭圆的标准方程为.xyODMP例2如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？422yx解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0）,则002,,yxxy因为点P（x0,y0）在圆224xy上，所以．．.42020yx①把点ｘ0=x，y0=2y代入方程①，得即，4422yx.1422yx所以点M的轨迹是一个椭圆.从例2你能发现椭圆与圆之间的关系吗？例3如图，设点A，B的坐标分别是(-5，0)和(5，0),直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是,求点M的轨迹方程.94yAxMBO解：设点M的坐标（x,y）,因为点A的坐标是（-5,0）,所以,直线AM的斜率为55();AMykxx同理，直线BM的斜率55().BMykxx由已知有45559(),yyxxx化简，得点M的轨迹方程为2215100259().xyx1.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于M，N两点，则三角形MNF2的周长为（）A.10B.20C.30D.40192522yxByoF1F2MxN2.（2013·广东高考）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F，离心率等于12，则C的方程是（）A．22134xyB．22143xyC．22142xyD．22143xyD2.椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A（3，0），则椭圆的标准方程是_________.答案：2222xxyy1=19981或3.已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为3m，求这个椭圆的标准方程.解：以两个焦点F1，F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为)0(12222babyax根据题意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，c=1.2.所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此椭圆的标准方程为221225081...xyxOyF1F2P222210xyabab222210yxabab定义图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c的关系222bac{P||PF1|+|PF2|=2a,2a|F1F2|}12yoFFPxyxo2FPF1(abca,,中最大)每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨.