人教版高三数学一轮复习-幂函数

幂函数一般地,函数𝒚=𝒙𝒂叫做幂函数，其中x是自变量,a是有理数。一、幂函数定义:注意：（1）幂函数不象指数函数和对数函数，其定义域随a的不同而不同。（2）幂函数的指数为常数；自变量前的系数为1。例：𝑦=𝑥𝑦=𝑥2𝑦=𝑥3𝑦=𝑥12𝑦=𝑥−1-10-55642-2-4-6yx011y=x2yx3yx12yx13yx二、幂函数图像Oxy11xy-1-1Oxy112xy-1-1Oxy113xy-1-1Oxy11xy-1-1Oxy111xy-1-1Oxy112xy-1-1Oxy113xy-1-1三、幂函数性质幂函数图象在第一象限的分布情况：10101001在(𝟏,+∞)上任取一点作x轴的垂线，与幂函数的图象交点越高，a的值就越大。一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下。名称图象定义域奇偶性单调性共性xyOxy11xy-1-1Oxy11-1-12xyOxy11-1-13xyOxy11-1-1xyOxy11-1-13xyRRR[0，+∞）R奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数(0,+∞)↑(-∞,0)↓(-∞,+∞)↑(-∞,+∞)↑[0,+∞)↑(-∞,+∞)↑2、在第一象限是递增函数。1、过(0，0)点、(1，1)点。名称图象定义域奇偶性单调性共性奇函数偶函数(-∞,0)∪(0,+∞)2、在第一象限是递减函数。1、过(1，1)点Oxy11-1-11xy2xyOxy11-1-1(-∞,0)∪(0,+∞)(-∞,0)↓(0,+∞)↓(-∞,0)↑(0,+∞)↓小结幂函数的性质:幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中a的不同而各异.１.幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1)２.如果𝑎0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数;３.𝑎0时，幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数5.设𝛼=𝑞𝑝，p奇q奇，幂函数为奇函数；p奇q偶，幂函数为偶函数;p偶q奇，幂函数非奇非偶.4.若α＜０，图像与y轴无交点；6.图像不过第四象限.7.第一象限内,α沿逆时针增大.例1：若(𝑚+4)−12(3−2𝑚)−12，求m的取值范围。例2：若(𝑎+2)−13(1−2𝑎)−13，求a的取值范围。例3：若𝑓𝑥=𝑥𝑚2−2𝑚−3𝑚∈𝑍为偶函数，且在(0,+∞)内递减，求𝑓(𝑥)表达式。例4：若函数𝑓𝑥=1𝑥2−𝑚−𝑚2在第二象限内递减，求m的最大负整数值。(1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性；(2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性；(3)当不能直接进行比较时，可在两个数中间插入一个中间数，间接比较上述两个数的大小.利用幂函数的增减性比较两个数的大小的方法.例5.利用单调性判断下列各值的大小。（1）𝟓.𝟐𝟎.𝟖与𝟓.𝟑𝟎.𝟖（2）𝟎.𝟐𝟎.𝟑与𝟎.𝟑𝟎.𝟑例6、比较下列各组数的大小25251.33)1(和8787)91(8)2(和5.14.153)3(和1133(4)1.51.7和223323(5)()()35和2253(6)4.15.8和例7：5，113，1236的大小关系是__________________例8：比较大小：log0.78，log70.8，0.78，70.8。例9：函数𝑓𝑥=1𝑥𝑚2+𝑚+1(𝑚∈𝑁)的定义域是_____________,奇偶性是____________.例10：已知幂函数𝑓𝑥=𝑥1𝑚2+𝑚(𝑚∈𝑁∗).（1）确定该函数的定义域，并指出该函数在定义域上的单调性。（2）若该函数经过点(2,2),试确定m的值，并求满足𝑓2−𝑎𝑓𝑎−1的实数a的取值范围。例11：已知函数𝑓𝑥=𝑎−1𝑥(𝑎0,𝑥0).（1）若𝑓𝑥≤2𝑥在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；（2）若存在实数𝑚，𝑛(0𝑚𝑛)使𝑓(𝑥)在[𝑚,𝑛]上的值域是[𝑚,𝑛],求a的取值范围。