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三、向量的混合积一、向量的内积二、向量的外积第二节向量的内积外积与混合积1M一、向量的内积沿与力夹角为的直线移动,W1.定义设向量的夹角为,称记作内积(数量积,点积)引例.设一物体在常力F作用下,F位移为s,则力F所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,s,0时当a上的投影为在ab记作故,0,时当同理babjrPb2.性质为两个非零向量,则有bajrPcosbbabaajrPbaaa)1(2aba,)2(0bababa3.运算律(1)交换律(2)结合律),(为实数abbaba)()(ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3)分配律cbcacba事实上,当0c时,显然成立;时当0cc)(bababcjrPacjrPcbabacjrPccbaccjrPjrPacjrPcbcjrPccacb)(jrPbac思考:下列等式是否成立?;||)1(aaaa;)()()2(baabaa);)(())(()3(bbaababa).()()4(cbacba什么时候等式成立?ABCabc例1.证明三角形余弦定理cos2222abbac证:则cos2222abbac如图.设,aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,,4.数量积的坐标表示设则,10zzyyxxbababa当为非零向量时,coszzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxiijjkkjikjikbabababa,两向量的夹角公式,得)(MB,)(MABM例2.已知三点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(BAMAMB.A解:,1,10,1,01则AMBcos10022213AMB求MBMAMAMB故为).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例3.设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域,与该平面域的单位垂直向量,A解:单位时间内流过的体积APAA的夹角为且vvncosvcosvnvvnn为单位向量解ba)1(2)4()2(111.9222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa,21abbabjPr||)3(.3||jPrbbaab.43例4已知)4,1,1(a,)2,2,1(b,求(1)ba;(2)a与b的夹角;(3)a在b上的投影.·例5证明向量c与向量acbbca)()(··垂直.证cacbbca])()[(])()[(cacbcbca])[(cacabc0cacbbca])()[(二、向量的外积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPsinOPMFOPOPMM矩是一个向量M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力FoPFMFM1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:外积(向量积),的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩FOPM思考:三角形面积abba21S=2.性质,0sin或即0aa)1(0为非零向量,则ba,)2(0baba∥,0,0时当ba0basinab03.运算律(证明略)(2)分配律cba)(cbca(3)结合律ba)()(ba)(baabba)1(证明:ba∥)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4.外积的坐标表示设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk外积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx例6.已知三点,)7,4,2(),5,4,3(,)3,2,1(CBA角形ABC的面积解:如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21ABAC21ACAB求三解zyxzyxbbbaaakjibac211423kji,510kj,55510||22c||0ccc.5152kj例7求与kjia423,kjib2都垂直的单位向量.22200)2(211ABCD在顶点为三角形中,,)2,1,1(A)0,1,1(B的和)1,3,1(C求AC边上的高BD.解:)3,4,0(AC,5)3(422||AC)2,2,0(AB三角形ABC的面积为||21ABACS21S||AC||BD5211||BD52||BD例8而故有一点M的线速度例9.设刚体以等角速度绕l轴旋转,导出刚体上的表示式.Ml解:在轴l上引进一个角速度向量使a其在l上任取一点O,O作它与则点M离开转轴的距离a且符合右手法则的夹角为,,sinar,rOMvsinr,,vrrvvv方向与旋转方向符合右手法则,r向径三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hAVcoscba)(cba,,,,,cba的为cba,,,Abaccba,,以则其cosbaccba)(cba,,bacbazyxzyxbbbaaaxcyczckji2.混合积的坐标表示设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba,),,(zyxaaaacba,,zyzybbaa,),,(zyxbbbb),,(zyxcccc,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc3.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是0(2)轮换对称性:],,[(可用三阶行列式推出)cba,,cba,,abc],,[abc],,[abcabc例10.已知一四面体的顶点),,(kkkkzyxA,3,2,1(k4),求该四面体体积.1A2A3A4A解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的,61故61V6112xx12yy12zz13xx13yy13zz14xx14yy14zz,21AA,31AA41AA],,[413121AAAAAA例11.证明四点,)3,3,2(),6,5,4(,)1,1,1(CBA共面.解:因0)17,15,10(DABCD34512291416故A,B,C,D四点共面.],,[ADACAB内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积(数量):),,(zzyyxxbabababa),,(zyxaaaazzyyxxbabababa),,(,),,(,),,(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积(向量):kjixayazaxbybzbba混合积:2.向量关系:ba//bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba,,共面cba,,0baxxabyyabzzab0ba0zzyyxxbababa0)(cba0zyxzyxzyxcccbbbaaa思考与练习1.设计算并求夹角的正弦与余弦.)3,1,1(,321cos1211sin答案:2.用向量方法证明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,,1baba,,2jibkjia,baba及BabcAC证:由三角形面积公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因BabcACABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACB22343cos322)2(173.已知向量的夹角且解:,43ba,.||ba求,2||a,3||b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba
本文标题:向量的内积 外积 混合积课件
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