向量的极化恒等式与等和线的应用-学生版

1/8极化恒等式.两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,bADaAB证明：不妨设，，则baDBbaAC222222CCbbaabaAA（1）222222bbaabaDBDB（2）（1）（2）两式相加得：22222222CADABbaDBA结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ba＝2241baba————极化恒等式对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41.即：2241DBACba（平行四边形模式）思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？因为AMAC2，所以2241DBAMba（三角形模式）例1.(2012年浙江文15)在ABC中，M是BC的中点，3,10AMBC，则ABAC____.ABCM2/8目标检测.______1)132012(的值为边上的动点，则是点，的边长为已知正方形改编北京文DADEABEABCD.________OO2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PBPAPABC目标检测8.6.3.2.)(134)112010(22DCBAFPOPPyxFO　　　　　　　　　　的最大值为则为椭圆上的任意一点，的中心和左焦点，点分别为椭圆和点若点福建文例3.（2013浙江理7）在ABC中,0P是边AB上一定点，满足014PBAB，且对于边AB上任一点P，恒有00PBPCPBPC。则()A.90ABCB.90BACC.ABACD.ACBC例4.(2017全国2理科12)已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（）A.B.C.D.ABC()PAPBPC2324313/8课后检测1.在ABC中，60BAC若2AB，3BC，D在线段AC上运动，DADB的最小值为2.已知AB是圆O的直径,AB长为2,C是圆O上异于,AB的一点,P是圆O所在平面上任意一点,则PAPBPC的最小值为____________3．在ABC中，3AB，4AC，60BAC，若P是ABC所在平面内一点，且2AP，则PBPC的最大值为4．若点O和点(2,0)F分别是双曲线2221(0)xyaa的中心和左焦点，点P为双曲线右支上任意一点则OPFP的取值范围是.5．在RtABC，2ACBC，已知点P是ABC内一点，则)(PBPAPC的最小值是.6.已知BA、是单位圆上的两点，O为圆心，且MNAOBo,120是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足)10()1(OBOAOC，则CNCM的取值范围是（）A．1,21B．1,1C．0,43D．0,14/87.正ABC边长等于3，点P在其外接圆上运动，则PBAP的取值范围是（）A.23,23B.21,23C.23,21D.21,218．在锐角ABC中，已知3B，2ABAC，则ABAC的取值范围是．9.22.2.2.1.)(,0)()(2,)92008(DCBAccbcacba　　　　　　　　的最大值是则满足，若向量个互相垂直的单位向量是平面内已知浙江理5/8lAQBOA1B1PlOABCC1平面向量基本定理系数的等和线【适用题型】平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。【基本定理】（一）平面向量共线定理已知OAOBOC，若1，则,,ABC三点共线；反之亦然（二）等和线平面内一组基底,OAOB及任一向量OP，(,)OPOAOBR，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。（1）当等和线恰为直线AB时，1k；（2）当等和线在O点和直线AB之间时，(0,1)k；（3）当直线AB在点O和等和线之间时，(1,)k；（4）当等和线过O点时，0k；（5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；【解题步骤及说明】1、确定等值线为1的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。【典型例题】例1、给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为0120，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动。若OCxOAyOB，其中,xyR，则xy的最大值是__________。跟踪练习：已知O为ABC的外心，若1cos3ABC，AOABAC，则的最大值为_______6/8AOBCSMBACDQNP例2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，两定点,AB满足||||2OAOBOAOB，则点集{|,||||1,,}POPOAOBR所表示的区域面积为__________________.例3、如图，在扇形OAB中，060AOB，C为弧AB上不与,AB重合的一个动点，OCxOAyOB，若uxy(0)存在最大值，则的取值范围为__________.跟踪练习：在正方形ABCD中，E为BC中点，P为以AB为直径的半圆弧上任意一点，设AExADyAP，则2xy的最小值为_____________.【强化训练】1、在正六边形ABCDEF中，P是三角形CDE内（包括边界）的动点，设APxAByAF，则xy的取值范围__________.2、如图，在平行四边形ABCD中，,MN为CD边的三等份点，S为,AMBN的交点，P为边AB上的一动点，Q为SMN内一点（含边界），若PQxAMyBN，则xy的取值范围__________.7/83、设,DE分别是ABC的边AB，BC上的点，12ADAB，23BEBC，若12DEABAC（12,为实数），则12的值为_____________.4、梯形ABCD中，ADAB，1ADDC，3AB，P为三角形BCD内一点（包括边界），APxAByAD，则xy的取值范围__________.5、已知||1,||3OAOB，0OAOB，点C在AOB内，且030AOC，设OCmOAnOB，则mn的值为____________.6、在正方形ABCD中，E为AB中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设ACxDEyAP，则xy的最小值为_____________.7、已知||||1OMON，(,OPxOMyONxy为实数）。若PMN为以M为直角顶点的直角三角形，则xy取值的集合为_______8、平面内有三个向量,,OAOBOC，其中,OAOB夹角为0120，,OAOC的夹角为030，且||||1OAOB，||23OC，若OCmOAnOB，则mn的值为____________________。8/8BDOAC9、如图，,,ABC是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若OCmOAnOB，则mn的取值范围为___________。10、已知O为ABC的外心，若(0,0),(2,0)AB，21,3ACBAC，且AOABAC，则=________.11、已知,ab是两个互相垂直的单位向量，且1cacb，则对任意的正实数t，1||ctabt的最小值为_______________.