2016中考二次函数的图象与性质

课后强化训练16二次函数的图象与性质基础训练1．已知以x为自变量的二次函数y＝x2－bx＋c＋2的图象经过点(0，3)，则c的值是________．2．抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是______．3．将抛物线y＝x2－2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位等到的抛物线是____________________________．4．若一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，则抛物线y＝ax2＋bx的对称轴为_____________________．5．若抛物线y＝x2－2x＋c与y轴的交点为(0，－3)，则下列说法不正确的是()A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴是x＝1C.当x＝1时，y的最大值为－4D.抛物线与x轴的交点为(－1，0)，(3，0)1(1，2)直线x＝－1Cy＝(x－5)2＋2或y＝x2－10x＋276．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的坐标满足下表：x…－3－2－101…y…－3－2－3－6－11…则该函数图象的顶点坐标为()A.(－3，－3)B.(－2，－2)C.(－1，－3)D.(0，－6)7．当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，则实数m的值为()A.－3B.3或－3C.2或－3D.2或－3或－74BC8．在同一坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是()D9．已知二次函数y＝－12x2－x＋32.(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象．(第9题图)(2)根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数表达式．解：(1)画图(如解图)．(第9题图解)(2)当y＜0时，x的取值范围是x＜－3或x＞1.(3)平移后图象所对应的函数表达式为y＝－12(x－2)2＋2或写成y＝－12x2＋2x.10．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的表达式．(2)当m＝2时，设该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D两点的坐标．(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)将点O(0，0)的坐标代入，得0＝m2－1，∴m＝±1，∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x.(2)当m＝2时，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴点D(2，－1)；当x＝0时，y＝3，∴点C(0，3)．(3)存在．连结CD交x轴于点P，则点P为所求，由点C(0，3)，D(2，－1)可求得直线CD的表达式为y＝－2x＋3，当y＝0时，x＝32，∴点P32，0.拓展提高11．如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，小刚同学观察得出了下面四条信息：①b2－4ac0；②c1；③2a－b0；④a＋b＋c0，其中错误的有()(第11题图)A.1个B.2个C.3个D.4个A12．若一抛物线y＝ax2与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形有公共点，则a的取值范围是()A.14≤a≤1B.12≤a≤2C.12≤a≤1D.14≤a≤213．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()(第13题图)DA14．如图，反比例函数y＝kx的图象经过二次函数y＝ax2＋bx图象的顶点(－12，m)(m＞0)，则有()(第14题图)A.a＝b＋2kB.a＝b－2kC.k＜b＜0D.a＜k＜0D15．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，另一个解x2＝________．(第15题图)(第16题图))16．如图，已知抛物线y＝－49(x－1)2＋4，与x轴交于A，B两点，点C为抛物线的顶点．点P在抛物线的对称轴上，设⊙P的半径为r，当⊙P与x轴和直线BC都相切时，则圆心P的坐标为__________________________．－11，32，1，－617．如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴上两点，C，D为y轴上的两点，经过点A，C，B的抛物线的一部分C1与经过点A，D，B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为(0，－32)，点M是抛物线C2：y＝mx2－2mx－3m(m＜0)的顶点．(第17题图)(1)求A，B两点的坐标．(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．(3)当△BDM为直角三角形时，求m的值．解：(1)y＝mx2－2mx－3m＝m(x－3)(x＋1)，∵m≠0，∴当y＝0时，x1＝－1，x2＝3，∴点A(－1，0)，B(3，0)．(2)存在．设C1：y＝ax2＋bx＋c，将A，B，C三点的坐标代入，得a－b＋c＝0，9a＋3b＋c＝0，c＝－32，解得a＝12，b＝－1，c＝－32.(第17题图解)故C1：y＝12x2－x－32.如解图，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，由B，C的坐标可得直线BC的表达式为y＝12x－32，设点P(x，12x2－x－32)，则点Q(x，12x－32)，∴PQ＝12x－32－(12x2－x－32)＝－12x2＋32x，∴S△PBC＝12PQ·OB＝12×(－12x2＋32x)×3＝－34x－322＋2716，∴当x＝32时，S△PBC有最大值，S最大＝2716，12×322－32－32＝－158，∴点P32，－158.(3)y＝mx2－2mx－3m＝m(x－1)2－4m，∴得顶点M坐标为(1，－4m)．当x＝0时，y＝－3m，∴点D(0，－3m)，B(3，0)，∴DM2＝(0－1)2＋(－3m＋4m)2＝m2＋1，MB2＝(3－1)2＋(0＋4m)2＝16m2＋4，BD2＝(3－0)2＋(0＋3m)2＝9m2＋9，∴当△BDM为直角三角形时，有DM2＋BD2＝MB2或DM2＋MB2＝BD2两种情况．①当DM2＋BD2＝MB2时，m2＋1＋9m2＋9＝16m2＋4，解得m＝±1.∵m＜0，∴m＝1舍去，∴m＝－1.②当DM2＋MB2＝BD2时，m2＋1＋16m2＋4＝9m2＋9，解得m＝－22(同理于①，m＝22舍去)．综上，m＝－1或－22时，△BDM为直角三角形．18．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．(1)填空：点C的坐标为(______，______)，点D的坐标为(______，______)．(2)设点P的坐标为(a，0)，当|PD－PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位置．(3)在(2)的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C对应点C′的横坐标为t(其中0＜t＜6)，在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？(第18题图)解：(1)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴点C(0，3)，D(1，4)，故答案为：0；3；1；4.(2)∵在三角形中两边之差小于第三边，∴延长DC交x轴于点P，此时|PD－PC|最大，设直线DC的函数表达式为y＝kx＋b，把D，C两点的坐标代入可得k＋b＝4，b＝3，解得k＝1，b＝3.∴直线DC的函数表达式为y＝x＋3，将点P的坐标(a，0)代入得a＋3＝0，解得a＝－3，如解图①，点P(－3，0)即为所求．(第18题图解①)(3)过点C作CE∥x轴，交直线BD于点E，如解图②，(第18题图解②)由(2)得直线DC的函数表达式为y＝x＋3，令y＝0，即－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点A(－1，0)，B(3，0)．由待定系数法可求得直线BD的函数表达式为y＝－2x＋6，直线BC的函数表达式为y＝－x＋3，在y＝－2x＋6中，当y＝3时，x＝32，∴点E的坐标为32，3.设直线P′C′与直线BC交于点M，∵P′C′∥DC，P′C′与y轴交于点(0，3－t)，∴直线P′C′的函数表达式为y＝x＋3－t，联立y＝－x＋3，y＝x＋3－t，解得x＝t2，y＝6－t2.∴点M的坐标为t2，6－t2.∵B′C′∥BC，点B′的坐标为(3＋t，0)，∴直线B′C′的函数表达式为y＝－x＋3＋t，分两种情况讨论：①当0＜t＜32时，如解图②，B′C′与BD交于点N，联立y＝－2x＋6，y＝－x＋3＋t，解得x＝3－t，y＝2t.∴点N的坐标为(3－t，2t)，∴S＝S△B′C′P′－S△BMP′－S△BNB′＝12×6×3－126－t2×(6－t)－12t×2t＝－54t2＋3t，其对称轴直线为t＝65，可知其在0＜t＜32范围内，∴当t＝65时，有最大值95；②当32≤t＜6时，如解图③，直线P′C′与DB交于点N，(第18题图解③)联立y＝－2x＋6，y＝x＋3－t，解得x＝t＋33，y＝12－2t3.∴点N的坐标为t＋33，12－2t3，∴S＝S△BNP′－S△BMP′＝12(6－t)×12－2t3－12×(6－t)×6－t2＝112(6－t)2＝112t2－t＋3；显然当32≤t＜6时，S随t的增大而减小，当t＝32时，S有最大值2716.综上所述，S与t之间的关系式为S＝－54t2＋3t（0t32），112t2－t＋3（32≤t6）且当t＝65时，S有最大值，最大值为95.