数值计算方法期末复习答案终结版

一、名词解释1．误差：设*x为准确值x的一个近似值，称**()exxx为近似值*x的绝对误差，简称误差。2．有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。如果近似值*x的误差限是1102n，则称*x准确到小数点后n位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。3.算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。4.向量范数：设对任意向量nxR，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||x，若||||x满足（1）||||0x，且||||0x当且仅当0x；（2）对任意实数，都有||||||x||||x；（3）对任意,nxyR，都有||||||||||||xyxy则称||||x为向量x的范数。5.插值法：给出函数()fx的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x作为()fx的近似的方法。6相对误差：设*x为准确值x的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值*x的相对误差，记为*()rex，即**()()rexexx7.矩阵范数：对任意n阶方阵A，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||A。若||||A满足（1）||||0A，且||||0A当且仅当0A；（2）对任意实数，都有||||||A||||A；（3）对任意两个n阶方阵A,B,都有||||||||||||ABAB；（4）||||||||ABA||||B称||||A为矩阵A的范数。8．算子范数：设A为n阶方阵，||||是nR中的向量范数，则0||||||||||||maxxAxAx是一种矩阵范数，称其为由向量范数||||诱导出的矩阵范数，也称算子范数。9.矩阵范数与向量范数的相容性：对任意n维向量x，都有||||||||AxA||||x这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。10.1范数，范数和2范数：（1）1范数11||||||niixx（2）范数1||||max{||}iinxx（3）2范数222212||||nxxxx二、简答题1．高斯消元法的思想是：先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过程。然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解，此过程称为回代过程。2.迭代法的基本思想是：构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解得规则，由不同的计算规则得到不同的迭代法。3.雅可比（Jacobi）迭代法的计算过程（算法）：（1）输入()ijAa，1(,,)nbbb，维数n，(0)(0)(0)(0)12(,,,)nxxxx，，最大容许迭代次数N。（2）置1k（3）对1,2,,in(0)1()/niiijjiijjixbaxa（4）若(0)xx，输出x停机；否则转5。（5）kN，置(0)1,(1,2,,)iikkxxin，转3，否则，输出失败信息，停机。4.插值多项式的误差估计：（P102）由(1)(1)101()()()()()()()(1)!(1)!nnnnnffRxxxxxxxxnn当(0,1,,)ixxin时，上式自然成立，因此，上式对[,]ab上的任意点都成立，这就叫插值多项式的误差估计。5.反幂法的基本思想：设A为阶非奇异矩阵，，u为A的特征值和相应的特征向量，则1A的特征值是A的特征值的倒数，而相应的特征向量不变，即11Auu因此，若对矩阵1A用幂法，，即可计算出1A的按模最大的特征值，其倒数恰为A的按模最小的特征值。6.雅可比（Jacobi）迭代法是：选取初始向量(0)x代入迭代公式(1)()kkixBxg(0,1,2,)k产生向量序列(){}kx，由上述计算过程所给出的迭代法。7.数值计算中应注意的问题是：（1）避免两个相近的数相减（2）避免大数“吃”小数的现象（3）避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值（4）要简化计算，减少运算次数，提高效率（5）选用数值稳定性好的算法8.高斯消去法的计算量：由消去法步骤知，在进行第k次消元时，需作除法nk次，乘法()nk(1)nk次，故消元过程中乘除运算总量为乘法次数121()(1)(1)3nknnknkn除法次数11()(1)2nknnkn在回代过程中，计算kx需要(1)nk次乘除法，整个回代过程需要乘除运算的总量为1(1)(1)2nknnkn，所以，高斯消去法的乘除总运算量为322(1)(1)(1)32233nnnnnNnnnn9.迭代法的收敛条件：对任意初始向量(0)x和右端项g，由迭代格式(1)()kkxMxg(0,1,2,)k产生的向量序列(){}kx收敛的充要条件是()1M。10.迭代法的误差估计：设有迭代格式(1)()kkxMxg，若||||1M，(){}kx收敛于*x，则有误差估计式()*(1)(0)||||||||||||1||||KkMxxxxM。二、计算题1.假定运算中数据都精确到两位小数，试求*1.213.659.81x的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效数字？解：由式12121212121212()()()()()()rrrexxexexxxexxexexxxxx和1221121212()()()()()()rrrexxxexxexexxexex得*()3.65(1.21)1.21(3.65)(9.81)exeee因为式中数据都精确到两位小数，即其误差限均为21102，故有*|()|3.65|(1.21)|1.21|(3.65)||(9.81)|exeee***|()|0.0293|()|0.0054||5.3935rexexx所以，*x的绝对误差限为0.0293，相对误差限为0.0054，计算结果有两位有效数字。2.求矩阵223477245A的三角分解。解：由式111111(1,2,,)(2,,,,,)()/(1,2,,1,1,,)jjiijijikkjkjijijikkjjjkuajnualuinjinlaluujnijn，12122ua，13133ua2121114/22lau，3131112/12lau222221127223ualu，232321137231ualu3232311222()/[4(1)2]/32laluu333331133223()5[(1)321]6ualulu所以100223210031121006A21(3.651.211)100.029323．用幂法（2k）求矩阵210021012A的按模最大的特征值和相应的特征向量。取(0)(0,0,0)Tx.（P77）解：(0)(0)(0,0,1)Tyx(1)(0)(0,1,2)TxAy,2(1)(1)(0,0.5,1)Txy(2)(1)(0.5,2,2.5)TxAy，2.54.已知函数lnyx，x的值是10,11,12,13,14对应的lnyx的值分别是2.3026，2.3979,2.4849,2.5649,2.6391。用Lagrange线性插值求ln11.5的近似值。解：取两个节点011x，112x，插值基函数为1001()(12)xxlxxxx0110()11xxlxxxx由式011010110()xxxxxyyxxxx得1()2.3979(12)2.4849(11)Lxxx将x=11.5代入，即得1ln11.5(11.5)2.39790.52.48490.52.4414L按式(1)1()()()(1)!nnnfRxxn(,)ab得1(ln)()(11)(12)2!xRxxx因为21(ln)xx，在11和12之间，故2211|(ln)|0.008264511x于是311|(11.5)|0.00826450.50.51.03306102R5.用Jacobi迭代法（1k）求解线性方程组1231231231027210283542xxxxxxxxx.解：由Jacobi迭代法得计算公式(1)()11nkkiiijjjiiiijibxaxaa得(1)()()123(1)()()213(1)()()3120.10.27.20.10.28.30.20.28.4kkkkkkkkkxxxxxxxxx取(0)(0,0,0)Tx，代入上式得(1)17.2x(1)28.3x(1)38.4x(2)10.18.30.28.47.29.71x(2)20.17.20.28.48.310.70x(2)30.27.20.28.38.411.50x6.设有方程组Axb，其中111221112211122A，讨论用Jacobi迭代法求解的收敛性。解：因为A为对称矩阵，且其各阶主子式皆大于零，故A为对称正定矩阵，A不是弱对角占优阵，故不能判别Jacobi迭代的收敛性。易算出Jacobi迭代法的迭代矩阵为1110221102211022BIDA其特征方程311221113||22441122IB21()(1)02有根1212，31，因而()1B。由向量序列(){}kx收敛的充要条件是()1B，故Jacobi迭代法不收敛。7．用反幂法（1k）求矩阵210021012A接近2.93的特征值，并求相应的特征向量，取(0)(0,0,0)Tx.解：对2.93AI作三角分解得0.93102.9300.931010.93AI1000.931001000.9311101000.930.930.938.已知函数lnyx，x的值是10,11,12,13,14对应的lnyx的值分别是2.3026，2.3979,2.4849,2.5649,2.6391。用Lagrange抛物线插值求ln11.5的近似值。解：取011x，112x，213x，插值多项式为2(12)(13)(11)(13)(11)(12)()2.39792.48492.5649(1112)(1113)(1211)(1213)(1311)(1312)xxxxxxLx1.19895(12)(13)2.4849(11)(13)1.28245(11)(12)xxxxxx所以2ln11.5(11.5)L1.19895(0.5)(1.5)2.48490.5(1.5)1.282450.5(0.5)2.442275因为'32(ln)xx，于是'2311132max|(ln)|0.15031011xx因此用抛物线插值法计算的误差为'2|(ln)||(11.5)||(11.511)(11.512)(11.513)|3