数列中的奇偶项问题

1、相邻两项符号相异；例1：求和：n1nSn-3…（-1）（4）nN解：当n为偶数时：S1591342nnnnn当n为奇数时：159134n32nS（4-3）（4-）n-1nnnn解：①当n为偶数时：12341nnnSaaaaaa…12341()()()122nnnnaaaaaa…②当n为奇数时：123451()()()nnnSaaaaaaa…13222nn2、相邻两项之和为常数；例2：已知数列{an}中a1=2，an+an+1=1，Sn为{an}前n项和，求Sn数列中奇偶项问题即n∈N*时，1(1)nnan3、相间两项之差为常数；例3：已知数列{an}中a1=1，a2=4，an=an-2+2（n≥3），Sn为{an}前n项和，求Sn解：∵an-an-2=2（n≥3）∴a1,a3,a5,…,a2n-1为等差数列；a2,a4,a6,…,a2n为等差数列当n为偶数时：4(1)222nnan当n为奇数时：11(1)22nnan∴①n为偶数时：2(1)13(123)22222nnnnSnnnn…②n为奇数时：21(1)13(123)2112222nnnnSnnnn…作业：数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为．方法一：不妨令a1＝1，则a2＝2，a3＝a5＝a7＝…＝1，a4＝6，a6＝10，…，所以当n为奇数时，an＝1；当n为偶数时，各项构成以2为首项，4为公差的等差数列，所以前60项的和为30＋2×30＋30×30－12×4＝1830.方法二：由题意可得a2-a1=1，a3+a2=3，a4-a3=5，a5+a4=7，a6-a5=9，a7+a6=11，…a50-a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，16为公差的等差数列。∴{an}的前60项和为15×2+(15×8+（15×14）/2×16)=1830，作业：数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为．方法三：∴a2=a1+1，a3=－a2+3=－(a1+1)+3=－a1+2，a4=a3+5=－a1+7，a5=a1，a6=a1+9，a7=－a1+2，a8=－a1+15a9=a1，a10=a1+17，a11=－a1+2，a12=－a1+23a13=a1，a14=a1+25，a15=－a1+2，a16=－a1+31∴a1+a2+a3+a4=1+2+7=10，a5+a6+a7+a8=9+2+15=26，a9+a10+a11+a12=17+2+23=42，a13+a14+a15+a16=25+2+31=58，由此发现，此数列的每四项之和为一常数，且每四项和构成一首项为10，公差为16的等差数列，而60=15×4，所以{an}的前项和为15×10+=1830作业：数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为．方法四：由an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，得：=﹣（﹣1）n+1[﹣（﹣1）nan+2n﹣1]+2n+1=，∴，同理：，于是，令bn=a4n+a4n﹣1+a4n﹣2+a4n﹣3，则bn+1=bn+16，b1=10，于是，bn=16n﹣6，前16项和为．方法五：当为奇数时,,因此每四项的和依此构成一个以10为首项,16为公差等差数列,所以的前项和为作业：数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为．解：依题意：11()3nnnaa∴213nnaa其中1212,6aa。∴13521,,,...,naaaa为等比数列；2462,,,...,naaaa为等比数列∴①n为偶数时：11222211111()()()36323nnnnaa②n为奇数时：11122112()2()33nnna则有：12212()21()311()2()23{nnnnkkNankkN1*2*212()21()311()2()23{nnnnkkNankkN练习：已知an，an+1为方程21()03nnxCx的两根n∈N*，a1=2，Sn=C1+C2+…+Cn，求an及S2n。而Cn=an+an+1∴①n为奇数时，n+1为偶数：11122211111312()()()32363nnnnnnCaa则：1352113163113nnCCCC（1-）…②n为偶数时，n+1为奇数：222111151()2()()23323nnnnnnCaa则：于是：24625163113nnCCCC（1-）…21234212...11(1)(1)1359133..(1)1166231133nnnnnnScccccc