复变函数期末考试试卷及答案

2008年《复变函数与积分变换》试卷一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。）（1）i)1(的主值是。（2）已知)()(2323lxyxiynxmyzf为解析函数，则m=，n，l=。（3）如果)2)((cos)(zizzzf的Taylor级数为0)3(nnnzc，则该级数的收敛半径为。（4）设zezzf13)(，则Res0),(zf。（5）设,0,2,0,0)(1tttf,0,sin,0,0)(2ttttf则)()(21tftf。二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。）（1）若21zzee，则（）（A）21zz。（B）kzz221（k为任意整数）。（C）ikzz21。（D）kizz221（k为任意整数）。（2）设曲线C为单位圆1z，取正向，则积分Cdzzz2cos2（）（A）0．（B）i。（C）i。（D）i2。（3）如果级数0)3(nnnzc在点1z处收敛，则该级数必在（）（A）点4z处绝对收敛。（B）点4z处条件收敛。（C）点5z处收敛。（D）点6z处发散。（4）zw1将z平面上的曲线1)1(22yx映射成w平面上的曲线（）（A）21u。（B）21v。（C）122vu。（D）1)1(22vu。（5）0z是函数2sin)(zzzf的（）（A）本性奇点。（B）可去奇点。（C）一级极点。（D）二级极点三、（10分）已知调和函数)0(22xyxyv，求调和函数u，使ivuzf)(成为解析函数，并满足0)2(f。四、（25分）计算下列积分：（1）dzzC，其中C是从0z到iz1的直线段；（2）CyxyxCdzzz)(2:,)1()1(12222，正向（3）CizizCdzze232:,12，正向（4）dxxxx)4)(1(222；（5）d20cos452cos。五、（15分）将函数2)1(1)(zzzf分别在下列圆环域内展开成Laurent级数。（1）10z；（2）110z；（3）11z。六、（5分）已知函数0,,0,0)(tettft（0），求)()(0ttfetgtjw的Fourier变换。七、（10分）应用Laplace变换解微分方程：.1,0,3400tttyyeyyy八、（5分）如果),(),(yxivyxu是区域D内的解析函数，那么),(),(yxiuyxv在D内是否一定也是解析函数？为什么？2008年《复变函数与积分变换》试题解答一、（1）e；（2）1，-3，-3；（3）1；（4）241；（5）)cos1(2t二、（1）D；（2）A；（3）A；（4）A；（5）C三、由22yxyv知222)(2yxxyxv，22222)(yxyxyv。由RC方程知222)(2yxxyxvyu，所以),()(222222xyxxdyyxxyu)()(22222xyxxyxu.又yvxu，故有Cxx)(,0)(，所以Cyxxu22。因此CzyxyiCyxxivuzf1)(2222.由0)2(f可得21C，所以211)(zzf.四、（1）在曲线C上，dxidzxiixxiyxz)1(,)1(.Cidxixdzz)1(22)1(210.（2）1z是)1()1(1)(22zzzf在C内的二级极点,iz是)(zf在C内的一级极点.Res,21)11(lim1),(21zdzdzfzRes.41)()1(1lim),(2izzizfiz原式=ii2)4121(2.（3）原式=Cizizizeizeidzizize2)(.（4）)4)(1()(222zzzzR.iiz2,分别是)(zR在上半平面内的两个一级极点.Res,61)4)((lim),(22izizzizfizRes.31)2)(1(lim2),(222iizzzizfiz原积分=.3)36(2iii（5）令iez，则.222cos,22cos22221zzeezzeeiiii原式=11221245zdzizzzzz=.)()21)(211()1(21124zzdzzfdzzzzzi0z是)(zf在1:zC内部的2级极点，21z是)(zf在C内部的一级极点..617)21)(211()1(2)21(lim21),(Re25)21)(211(1lim0),(Re24212420izzzzizzfsizzzzzdzdzfszz原式=.32617252iii五、（1）10z时，.1)1(111)1(1,11112112110202nnnnnnnnnnnznzzzznzzzzzzzz（2）)1(11)1(1)1(122zzzz.)1()1()1()1()1(1)1(1020222nnnnnzzzzz（3）zzzzzz1111)1(1)1(11)1(1)1(1322.)1(1)1(11111)1(13023nnnzzzz六、jdtedteedtetfFtjtjttj1)()(0)(0。2)(11)(jjddjttf.20)(1)(0jttfetj.七、令)()(sYty。方程两边取Laplace变换，得11)(3)0()(4)0()0()(2ssYyssYysysYs.即11)(3)(41)(2ssYssYsYs.解得)3()1()(2ssssY.1s是)(sY的二级极点，3s是)(sY的一级极点ResttstsstteeessdsdesY21433lim1,)(1.Res.43)1(lim3,)(323tstssteessesY)(ty1.432143)(3ttteteesY八、因为ivu是D内的解析函数，由RC方程，yvxu，xvyu（1）如果iuv也是D内的解析函数，则yuxv，xuyv.（2）为使（1），（2）同时成立，当且仅当0yvxvyuxu.所以21C，vCu（21，CC为常数）.因此，只有当ivu在D内为常数时，iuv才能在D内解析，否则iuv不解析.