数学建模-mathematica

数学建模与数学实验网上作业张楠工业0901092240292011/5/262数学建模与数学实验题1:问题描述:(问题中使用的长度单位E(英尺，1E=30.24cm)，容积单位是G(加仑，1G=3.785L))。某些州的用水管理机构需估计公众的用水速度(单位:G/h)和每天的总用水量。许多供水单位由于没有测量流入或流出量的设备,而只能测量水箱中的水位(误差不超过5%)。当水箱水位低于水位L时,水泵开始工作将水灌入水箱，直至水位达到最高水位H为止。但是依然无法测量水泵灌水流量，因此，在水泵工作时无法立即将水箱中的水位和水量联系起来。水泵一天灌水1～2次，每次约2h。试估计在任一时刻(包括水泵灌水期间)t流出水箱的流量),(tf并估计一天的总用水量。表1给出了某镇某一天的真实用水数据。水箱是直径为57E，高为40E的正圆柱体。当水位落到27E以下，水泵自动启动把水灌入水箱；当水位回升至35.5E时，水泵停止工作。表1时间/s水位210E时间/s水位210E03316663510619139371792121240252232854332284359323933239435433183175311030542994294728922850279527522697泵水泵水355034454663649953539365725460574645546853571854750217925482649859688995393270335032603167308730122927284227672697泵水泵水3475339733403问题分析：记V表示水的容积；iV表示时刻it(单位：h)水的容积；()ft表示流出水箱的水的流速(单位：G/h),它是时间的函数；p表示水泵的灌水速度(G/h)。先将表1中数据作变换,时间单位用小时(h),水位高转换成水的体积(2Vrh单位:3310,17.481GEG)。由于要求的是水箱流量与时间的关系,因此根据变换后的表的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度。公式即为：平均流速=(区间左端点的水量-区间右端点的水量)/时间区间长度然后需要做时间与平均水流量的散点图。用绘制散点图的命令画出数据的散点图，发现散点图分布不均匀，需用多阶多项式进行拟合。这里采用八阶多项式进行拟合。根据拟合出的函数做出相应的拟合曲线。分别将一天中最小时刻和最大时刻代入到水的流速拟合函数，得到这两时刻的流速,根据它们之间的关系进而求出一天的用水量。问题求解：（1）先将表1中数据作变换,时间单位用小时(h),水位高转换成水的体积(2Vrh单位:3310,17.481GEG)。①将时间单位换算成h:输入:tt={0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223,28543,32284,35932,39332,39435,43318,46636,49953,53936,57254,60574,64554,68535,71854,75021,79254,82649,85968,89953,93270}/3600//N输出：{0.,0.921111,1.84306,2.94972,3.87139,4.97806,5.9,7.00639,7.92861,8.96778,9.98111,10.9256,10.9542,12.0328,12.9544,13.8758,14.9822,15.9039,16.8261,17.9317,19.0375,19.9594,20.8392,22.015,22.9581,23.88,24.9869,25.9083}②水位高转换成水的体积输入：vv=Pi*(57/2)^2*{3175,3110,3054,2994,2947,2892,2850,2795,2752,2697,no_data,no_data,3550,3445,3350,3260,3167,3087,3012,2927,2842,2767,2697,no_data,no_data,3475,3397,3340}*10^(-2)*7.481/10^3//N输出：{606.098,593.69,583.,571.546,562.574,552.074,544.057,533.557,525.349,514.849,0.4190897no_data,0.190897no_data,677.685,657.64,639.505,622.324,604.571,589.299,574.982,558.756,542.529,528.212,514.849,0.190897no_data,0.190897no_data,663.367,648.477,637.596}根据输出结果，得到表2，如下：表2时间/h水量/310G时间/h水量/310G0.0.9211111.843062.949723.871394.978065.97.006397.928618.967789.9811110.925610.954212.0328606.098593.69583.571.546562.574552.074544.057533.557525.349514.849no_datano_data677.685657.6412.954413.8755814.982215.903916.826117.931719.037519.959420.839222.01522.958123.8824.986925.9083639.505622.324604.571598.299574.982558.756542.529528.212514.849no_datano_data663.367648.477637.593（2）根据公式：平均流速=(区间左端点的水量-区间右端点的水量)/时间区间长度算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度。①求相邻时间的中点：输入：tt1=Table[(tt[[i+1]]+tt[[i]])/2,{i,27}]输出：{0.460556,1.38208,2.39639,3.41056,4.42472,5.43903,6.45319,7.4675,8.44819,9.47444,10.4533,10.9399,11.4935,12.4936,13.4151,14.429,15.4431,16.365,17.3789,18.4846,19.4985,20.3993,21.4271,22.4865,23.419,24.4335,25.4476}②求水箱中流出的水的平均速度：输入：vv1=Table[(vv[[i]]-vv[[i+1]])/(tt[[i+1]]-tt[[i]]),{i,27}]输出：{13.471,11.5953,10.3498,9.73471,9.48735,8.69649,9.48974,8.90086,10.1036,0.986842(514.849-0.190897no_data),0.no_data,34.9515(-677.685+0.190897no_data),18.5833,19.6766,18.6466,16.0463,16.5697,15.5248,14.677,14.6733,15.5294,15.1898,0.850461(514.849-0.190897no_data),0.no_data,1.08466(-663.367+0.190897no_data),13.4514,11.8095}根据上述数据得到表3，如下所示：5表3时间区间的中点值/h平均水流量/310G/h时间区间的中点值/h平均水流量/310G/h0.4605561.382082.396393.410564.424725.439036.453197.46758.448199.4744410.453310.939911.493512.493613.47111.595310.34989.734719.487358.696499.489748.9008610.1036no_datano_datano_data18.583319.676613.415114.42915.443116.36517.378918.484619.498520.399321.427122.486523.41924.433525.447618.646616.046316.569715.524814.67714.673315.529415.1898no_datano_datano_data13.451411.8095（3）作出时间tt1与平均水流量vv1之间的散点图先输入调用统计软件包的命令：执行以后，再输入：Clear[L];L=Transpose[DropNonNumericColumn[{tt1,vv1*10^3}]](*命令中vv1*10^3,使平均水流量vv1的单位变为G/h*)输出：{{0.460556,13471.},{1.38208,11595.3},{2.39639,10349.8},{3.41056,9734.71},{4.42472,9487.35},{5.43903,8696.49},{6.45319,9489.74},{7.4675,8900.86},{8.44819,10103.6},{11.4935,18583.3},{12.4936,19676.6},{13.4151,18646.6},{14.429,16046.3},{15.4431,16569.7},{16.365,15524.8},{17.3789,14677.},{18.4846,14673.3},{19.4985,15529.4},{20.3993,15189.8},{24.4335,13451.4},{25.4476,11809.5}}输入：g1=ListPlot[L]输出散点图，如下图所示：65101520251200014000160001800020000图1（4）采用八阶多项式进行拟合输入：ft=Fit[L,Table[t^i,{i,0,8}],t]输出：16281.3-7839.76t+4690.7t2-1468.81t3+240.105t4-21.1141t5+1.01086t6-0.0248442t7+0.000245474t8这就是流出水箱的水的流速关于时t的函数()ft。为作出其拟合曲线图，输入：则输出图275101520251200014000160001800020000图2（5）求解结果将0.460556th和24.460556th代入到水的流速拟合函数()ft中到这两时刻的流速分别近似为13532.5G/h和13196.1G/h,相差仅2.48587%,从而可以认为()ft能近似表达一天的用水流量.于是,一天里的用水总量近似地等于函数()ft在24小时周期内的积分。输入：Integrate[ft,{t,0.46,24.46}]输出：336012.若按常规每1000人的用水量为105000G/d,因此估计出这个地区大约有3200人。题2:问题描述：一艘游船载有1000人，一名游客患了某种传染病，10小时后有2人被传染发病。由于这种传染病没有早期症状，故传染者不能被及时隔离。假设直升飞机将在50～60小时将疫苗运到时，患此传染病的人数。问题分析：假设()yt为发现第一个病人后t小时时刻的传染人数，则()yt对时间t的导数8dydt可以描述该传染病的传染速率。常识表明，传染病的传染率既受到传染人数的影响，有受到未传染人数的影响。一般情况下，染病人数越多，传染速度越快；未被传染人数越多，传染速度也越快。因此，其影响关系都为正比关系。在t时刻未被传染的人数为1000()yt，于是可以用以下方程来描述传染速率：(1000)dykyydt，(0)1y，(10)2y，k为比例常数。问题求解：输入：输出：因此得到解1000100011000ktkteyec，化简为1000110