高等数学基础形成性考核册及答案

高等数学基础第一次作业第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．A.2)()(xxf，xxg)(B.2)(xxf，xxg)(C.3ln)(xxf，xxgln3)(D.1)(xxf，11)(2xxxg⒉设函数)(xf的定义域为),(，则函数)()(xfxf的图形关于（C）对称．A.坐标原点B.x轴C.y轴D.xy⒊下列函数中为奇函数是（B）．A.)1ln(2xyB.xxycosC.2xxaayD.)1ln(xy⒋下列函数中为基本初等函数是（C）．A.1xyB.xyC.2xyD.0,10,1xxy⒌下列极限存计算不正确的是（D）．A.12lim22xxxB.0)1ln(lim0xxC.0sinlimxxxD.01sinlimxxx⒍当0x时，变量（C）是无穷小量．A.xxsinB.x1C.xx1sinD.2)ln(x⒎若函数)(xf在点0x满足（A），则)(xf在点0x连续。A.)()(lim00xfxfxxB.)(xf在点0x的某个邻域内有定义C.)()(lim00xfxfxxD.)(lim)(lim00xfxfxxxx（二）填空题⒈函数)1ln(39)(2xxxxf的定义域是（3，+∞)．⒉已知函数xxxf2)1(，则)(xfx2-x．⒊xxx)211(lime1/2．⒋若函数0,0,)1()(1xkxxxxfx，在0x处连续，则ke．⒌函数0,sin0,1xxxxy的间断点是x=0．⒍若Axfxx)(lim0，则当0xx时，Axf)(称为无穷小量．（三）计算题⒈设函数0,0,e)(xxxxfx求：)1(,)0(,)2(fff．解：f(-2)=-2，f(0)=0，f(1)=e⒉求函数xxy12lglg的定义域．解：由012xx解得x0或x1/2，函数定义域为(-∞，0)∪(1/2，+∞)⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．解：如图梯形面积A=(R+b)h，其中22hRb∴⒋求⒌求⒍求⒎求．⒏求⒐求⒑设函数1,111,1,)2()(2xxxxxxxf讨论)(xf的连续性，并写出其连续区间．解：RhhhRRA)(22bRR2322sin233sin3lim2sin3sinlim00xxxxxxxx2)1()1sin(1lim)1sin(1lim121xxxxxxx33cos33sin3lim3tanlim00xxxxxxxxxxxxxxxsin)11()11)(11(limsin11lim2220200sin11limsin)11(1)1(lim20220xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)341(lim)343(lim)31(lim43443)341(])341[(limexxxx32)4)(1()4)(2(lim4586lim4224xxxxxxxxxx1)(lim1)21()(lim121xfxfxx∴函数在x=1处连续不存在，∴函数在x=-1处不连续高等数学基础第二次作业第3章导数与微分（一）单项选择题⒈设0)0(f且极限xxfx)(lim0存在，则xxfx)(lim0（B）．A.)0(fB.)0(fC.)(xfD.0⒉设)(xf在0x可导，则hxfhxfh2)()2(lim000（D）．A.)(20xfB.)(0xfC.)(20xfD.)(0xf⒊设xxfe)(，则xfxfx)1()1(lim0（A）．A.eB.e2C.e21D.e41⒋设)99()2)(1()(xxxxxf，则)0(f（D）．A.99B.99C.!99D.!99⒌下列结论中正确的是（C）．A.若)(xf在点0x有极限，则在点0x可导．B.若)(xf在点0x连续，则在点0x可导．C.若)(xf在点0x可导，则在点0x有极限．D.若)(xf在点0x有极限，则在点0x连续．（二）填空题⒈设函数0,00,1sin)(2xxxxxf，则)0(f0．⒉设xxxfe5e)e(2，则xxfd)(lnd(2/x)lnx+5/x．⒊曲线1)(xxf在)2,1(处的切线斜率是1/2．⒋曲线xxfsin)(在)1,4π(处的切线方程是y=1．⒌设xxy2，则y2x2x(lnx+1)．⒍设xxyln，则y1/x．)1(1)(lim1fxfx011)(lim1)(lim11xfxfxx)(lim1xfx（三）计算题⒈求下列函数的导数y：⑴xxxye)3(y=(x3/2+3)ex，y＇=3/2x1/2ex+(x3/2+3)ex=(3/2x1/2+x3/2+3)ex⑵xxxylncot2y＇=-csc2x+2xlnx+x⑶xxyln2y＇=(2xlnx-x)/ln2x⑷32cosxxyxy＇=[(-sinx+2xln2)x3-3x2(cosx+2x)]/x6⑸xxxysinln2=⑹xxxylnsin4y＇=4x3-cosxlnx-sinx/x⑺xxxy3sin2y＇=[(cosx+2x)3x-(sinx+x2)3xln3]/32x=[cosx+2x-(sinx+x2)ln3]/3x⑻xxyxlntaney＇=extanx+exsec2x+1/x=ex(tanx+sec2x)+1/x⒉求下列函数的导数y：⑴21exy⑵3coslnxy⑶xxxyy=x7/8y＇=(7/8)x-1/8⑷3xxy⑸xyecos2⑹2ecosxy⑺nxxyncossiny＇=nsinn-1xcosxcosnx-nsinnxsinnx⑻2sin5xy⑼xy2sine⑽22exxxy⑾xxxyeee⒊在下列方程中，yyx()是由方程确定的函数，求y：⑴yxy2ecos方程对x求导：y＇cosx-ysinx=2y＇e2yy＇=ysinx/(cosx-2e2y)⑵xyylncos方程对x求导：y＇=y＇(-siny)lnx+(1/x)cosyy＇=[(1/x)cosy]/(1+sinylnx)⑶yxyx2sin2方程对x求导：2siny+y＇2xcosy=(2xy-x2y＇)/y2y＇=2(xy–y2siny)/(x2+2xy2cosy)⑷yxyln方程对x求导：y＇=1+y＇/y，y＇=y/(y-1)⑸2elnyxy方程对x求导：1/x+y＇ey=2yy＇，y＇=1/x(2y-ey)221(2)sin(ln)cossinxxxxxxx⑹yyxsine12方程对x求导：2yy＇=exsiny+y＇excosyy＇=exsiny/(2y-excosy)⑺3eeyxy方程对x求导：y＇ey=ex-3y2y＇，y＇=ex/ey+3y2⑻yxy25方程对x求导：y＇=5xln5+y＇2yln2，y＇=5xln5/(1-2yln2)⒋求下列函数的微分yd：⑴xxycsccot⑵xxysinln⑶xxy11arcsin⑷311xxy⑸xyesin2⑹3etanxy⒌求下列函数的二阶导数：⑴xxyln⑵xxysin⑶xyarctan⑷23xy（四）证明题设)(xf是可导的奇函数，试证)(xf是偶函数．证明：由f(x)=-f(-x)求导f＇(x)=-f＇(-x)(-x)＇f＇(x)=f＇(-x)，∴f＇(x)是偶函数高等数学基础第三次作业第4章导数的应用（一）单项选择题⒈若函数)(xf满足条件（D），则存在),(ba，使得abafbff)()()(．A.在),(ba内连续B.在),(ba内可导C.在),(ba内连续且可导D.在],[ba内连续，在),(ba内可导⒉函数14)(2xxxf的单调增加区间是（D）．A.)2,(B.)1,1(C.),2(D.),2(⒊函数542xxy在区间)6,6(内满足（A）．A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升⒋函数)(xf满足0)(xf的点，一定是)(xf的（C）．A.间断点B.极值点C.驻点D.拐点⒌设)(xf在),(ba内有连续的二阶导数，),(0bax，若)(xf满足（C），则)(xf在0x取到极小值．A.0)(,0)(00xfxfB.0)(,0)(00xfxfC.0)(,0)(00xfxfD.0)(,0)(00xfxf⒍设)(xf在),(ba内有连续的二阶导数，且0)(,0)(xfxf，则)(xf在此区间内是（A）．A.单调减少且是凸的B.单调减少且是凹的C.单调增加且是凸的D.单调增加且是凹的⒎设函数aaxaxaxxf23)()(在点1x处取得极大值2，则a（）．A.1B.31C.0D.31（二）填空题⒈设)(xf在),(ba内可导，),(0bax，且当0xx时0)(xf，当0xx时0)(xf，则0x是)(xf的极小值点．⒉若函数)(xf在点0x可导，且0x是)(xf的极值点，则)(0xf0．⒊函数)1ln(2xy的单调减少区间是(-∞，0)．⒋函数2e)(xxf的单调增加区间是(0，+∞)．⒌若函数)(xf在],[ba内恒有0)(xf，则)(xf在],[ba上的最大值是f(a)．⒍函数3352)(xxxf的拐点是x=0．⒎若点)0,1(是函数2)(23bxaxxf的拐点，则a，b．（三）计算题⒈求函数223)5()1(xxy的单调区间和极值．解：y＇=(x-5)2+2(x+1)(x-5)=3(x-1)(x-5)由y＇=0求得驻点x=1，5.列表x(-∞，1)1(1，5)5(5，+∞)y＇+0—0+y↑Ymax=32↓Ymin=0↑(-∞，1)和(5，+∞)为单调增区间，(1，5)为单调减区间，极值为Ymax=32，Ymin=0。⒉求函数322)2(xxy在区间]3,0[内的极值点，并求最大值和最小值．解：y＇=2x-2，驻点x=1是极小值点，在区间[0，3]上最大值为y(3)=6，最小值为y(1)=2。⒊试确定函数dcxbxaxy23中的dcba,,,，使函数图形过点)44,2(和点)10,1(，且2x是驻点，1x是拐点．⒋求曲线xy22上的点，使其到点)0,2(A的距离最短．解：曲线y2=2x上的点(x，y)到点A(2，0)的距离22)02()2(xxdd2=x2-2x+4，(d2)＇=2x-2，由(d2)＇=0求得x=1，由此得所求点有两个：)2,1(,)2,1(⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解右图为圆柱体的截面，由图可得R2=L2-H2圆柱体的体积V=πR2H=π(L2-H2)HV＇=π(L2-3H2)，由V＇=0解得LH33，此时LR36，圆柱体的体积3932LV最大。⒍一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？解：圆柱体的表面积S=2πR2+2πRH由体积V=πR2H解得H=V/πR2∴S=2πR2+2V/RS＇=4πR-2V/R2=2(2πR3-V)/R2由S＇=0解得32VR，此时RVVVH22843322答：当高与底面直径相等时圆柱体表面积最小。⒎欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米