2014高考数学备考学案(文科)能力提升第25课 利用导数研究函数的极值或最值

考纲要求1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次．3．求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次．知识梳理1．函数的极值⑴判断函数极值的方法①如果在0x附近的左侧()0fx，右侧()0fx，那么)(0xf是．②如果在0x附近的左侧()0fx，右侧()0fx，那么)(0xf是．⑵求可导函数极值的步骤:①求导数()fx．②求导数()0fx的根．③列表，判断()fx在方程的根的左右值的符号，确定)(xf在这个根处是取极大值还是取极小值．极大值极小值2．函数的最值求函数)(xf在[,]ab上的最大值与最小值的步骤：①求出)(xf在(,)ab内的极值．②再将)(xf的各极值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．函数()lnfxaxx在1x处取到极值，则a的值为（）A．12B．1C．0D．12基础自测【答案】B【解析】()1afxx，由(1)0f，得1a．2．（2012陕西高考）设函数2()lnfxxx，则（）A．12x为()fx的极大值点B．12x为()fx的极小值点C．2x为()fx的极大值点D．2x为()fx的极小值点【答案】D【解析】∵221()fxxx，令()0fx，则2x，当02x时，()0fx，当2x时，()0fx，∴2x为()fx的极小值点，故选D．3．函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图，则函数)(xf在开区间),(ba内有极值点的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C4．（2012韶关一模）函数xyxe的最小值是（）A．1B．eC．1eD．不存在【答案】C【解析】∵(1)xyxe，∴(,1)x，0y；(1,)x，0y．∴函数xyxe在1x处取得极小值，∴函数xyxe的最小值为1e．【例1】（2012丰台一模）已知函数321()13fxxax()aR．（1）若曲线()yfx在(1,(1))f处的切线与直线10xy平行，求a的值；（2）若0a，函数()yfx在区间2(,3)aa上存在极值，求a的取值范围；（3）若2a，求证：函数()yfx在(0,2)上恰有一个零点．考点1利用导数研究极值典例剖析【解析】（1）2()2fxxax，(1)12fa，∵曲线()yfx在(1,(1))f处的切线与直线10xy平行，∴121a，∴1a．（2）令()0fx，即()(2)0fxxxa，∴0x或2xa．∵0a，∴0x不在区间2(,3)aa内，要使函数在区间2(,3)aa上存在极值，只需223aaa．∴3a．（3）证明：令()0fx，∴0x，或2xa．∵2a，∴24a，∴()0fx在(0,2)上恒成立，∴函数()fx在(0,2)内单调递减．又∵(0)10f，1112(2)03af，∴()fx在(0,2)上恰有一个零点．【变式】（2012全国高考）已知函数cxxy33的图象与x恰有两个公共点，则c（）A．2或2B．9或3C．1或1D．3或1【答案】A【解析】∵函数的图象与x轴恰有两个公共点，∴函数的两个极值中有一个为0，∵233yx，令2330yx，解得1x，∵(,1)x时，0y，(1,1)x时，0y，(1,)x时，0y，∴极大值为cf2)1(，极小值为2)1(cf．由02)1(cf，解得2c，由02)1(cf，解得2c，∴2c或2c，选A．考点2利用导数研究最值【例2】（2012重庆高考）已知函数3()fxaxbxc在2x处取得极值为16c．（1）求a，b的值；（2）若()fx有极大值28，求()fx在[3,3]上的最小值．【解析】（1）∵3()fxaxbxc，∴2()3fxaxb，∵()fx在点2x处取得极值，∴(2)0(2)16ffc，即1208216ababcc，化简得12048abab，解得112ab．（2）由（1）知3()12fxxxc，∴2()3123(2)(2)fxxxx，令()0fx，解得12x，或22x，,(),()xfxfx的取值变化情况如下：x(3,2)2(2,2)2(2,3)()fx00()fx极大值极小值∴()fx在12x处取得极大值(2)16fc，由题设条件知1628c，得12c，此时(3)921fc，(3)93fc，(2)164fc，因此()fx在[3,3]上的最小值为(2)4f．【变式】（2012汕头质检）已知函数()lnfxxx．（1）求()fx的最小值；（2）若对所有1x都有()1fxax，求实数a的取值范围．【解析】（1）()fx的定义域为0,，()1lnfxx．令()0fx，解得1xe；令()0fx，解得10xe．∴()fx在1(0,)e单调递减，在1(,e）单调递增．∴当1xe时，()fx取得最小值11()fee．（2）∵对所有1x都有()1fxax，∴ln1xxax对于1,x恒成立，∴1lnaxx对于1,x恒成立．令1()lngxxx，则21111()1gxxxxx（）．当1x时，11()10gxxx（），∴()gx是[1,)上的增函数，∴()gx的最小值是(1)1g，∴a的取值范围是,1．1．极值是一个局部概念⑴极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小；⑵函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不只一个；⑶极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．归纳反思2．最值是一个整体概念⑴在闭区间,ab上连续的函数()fx在,ab上必有最大值与最小值；⑵在开区间(,)ab内连续的函数()fx不一定有最大值与最小值；⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个．