向量的加减法

向量的加法学习目标：通过实例，掌握向量的加法运算及理解其几何意义。熟练运用加法的“三角形法则”和“平行四边形”法则由于大陆和台湾没有直航，因此要从台湾去上海探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？台北香港上海ABC向量的加法：abbaabCAB,,,,abAABaBCbACabababABBCAC、内点，则与，记则这称为已知非零向量在平面任取一作向量叫做的和作即种求向量和向量加法的三角方法，形法的。首尾相接向量的加法：OABCabba,OabOACBOOCaabbabOAOBOC点为点两个为邻边则为点对线与这平行四边则称为以同一起的已知向量、作,以起的角就是的和即向量加法的种求向量和的方法，形法。起点相同aaaa00,我们规定对于零向量与任一向量对于向量的加法的理解需要注意下面两点:(1)两个向量的和仍然是向量(简称和向量)(2)位移的合成是三角形法则的物理模型.例1.如图，已知向量，求做向量。,ababab则。OBabOABaba三角形法则作法1：在平面内任取一点O，作，，OAaABbb例1.如图，已知向量，求做向量。,ababab作法2：在平面内任取一点O，O作，，OAaOBbaABbOAOB、以为邻边做，OACBC.OCOAOBab连结OC，则ba平行四边形法则练习：限时4分钟P761、2探究：多个向量的运算将如何进行？nnAAAAAAAA14332211A2A3A4A1nAnA首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．多边形法则:nAA1思考：如果非零向量a、b、c，满足a+b+c=0,则以a,b,c为有向线段的三条线段，能构成一个三角形吗？请同学们总结向量加法的“三角形法则”与“平行四边形”法则的联系与区别。向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与联系•三角形法则中的两个向量是首尾相接的，而平行四边形法则中的两个向量有公共的起点；三角形法则适用于所有的两个非零向量的求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量的求和。三角形法则和平行四边法则虽然都是求向量和的基本方法。但在应用上也有讲究，求两个向量和，当一个向量的终点为另一个向量的始点时，可用向量加法的三角形法则；而当它们的始点相同时，可用向量加法的平行四边形法则。思考：如图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法和数的加法有什么关系？abab（1）（2）||||||||||||||||ababababababba若，方向相同，则若，方向相反，则（或）||||||ababab若，不共线，则||||||ababab对任意两个向量，，有ABCBCAabab最小值各是什么的最大值和则已知||,6||,8||baba探究：数的加法满足交换律和结合律，即对任意，有,abR,abba()().abcabc那么对任意向量的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。,abOABCabbaabbaabccbcbaACDB例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。23ADBC,ADABADABABCDAC图，，，、为邻边则实际.解：（1）如所示表示船速表示水速以作表示船航行的速度例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。23(2)||2,||23RtABCABBC解：在中，2222||||||2(23)4ACABBC23tan32CAB60.CAB答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。ADBCFABCCDDFAB:.1化简?||,3||,14||,6||.2最大值和最小值吗有则已知cbacba练习：限时2分钟向量的减法在数的运算中，我们知道减法是加法的逆运算，向量的加法与实数的加法类似，类比实数的减法运算，能否把向量的减法同样作为向量加法的逆运算引入呢？向量的减法具有什么特点？如何进行向量减法的运算呢？向量进行减法运算，必须先引入一个什么样的新概念？实例分析上周日杨恒从家骑车到八里河公园游玩,然后再由八里河公园返回家中,我们把八里河公园记作B点,杨恒家记作A点,那么杨恒的位移是多少?AB+BA=0AＢ怎样用向量来表示呢?我们把与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量.记作1.相反向量－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．a和－a互为相反向量．:ABBA重要提示:ABBA重要提示请问的相反向量是AB:ABBA重要提示______ba______,b______,ab,a)3(______a)a_____()a(a)2(______)a(11互为相反的向量，那么如果）（：练习a00ba0求两个向量差的运算,叫做向量的减法.2.向量的减法()abab定义:向量加上的相反向量，叫作与的差，即()abab()abab()abab()abab3.如何求两个向量的差？:向量减法的推导DEACBabbbaba()ababACADAEBCACABBC即.)babab,a(.abbab,a的终点的始点指向向量可表示为从向量则首尾顺次连接，比较：如果两个向量的终点的向量的终点指向向量可以表示为从向量就，量从同一点出发的两个向的结论：以得到这样从向量差的作法我们可ACBabbaabOBAabab向量的减法：,,,,abOOAaOBbBAabababOAOBBA、内点，则与，记这减则已知向量在平面任取一作向量叫做的差作即种求向量差的方法，叫做向量法的三角形法。起点相同指向被减向量.)babab,a(.abbab,a的终点的始点指向向量可表示为从向量则首尾顺次连接，比较：如果两个向量的终点的向量的终点指向向量可以表示为从向量就，量从同一点出发的两个向的结论：以得到这样从向量差的作法我们可OabABba小结:作两向量的差向量的步骤:(1)将两向量移到共同起点(2)连接两向量的终点,方向指向被减向量注意与作和向量的区别()ababACADAEBC:ABBA重要提示即=__________ADAB1、DBCAAC00__________BCBA2、__________BABC3、__________CDBDACAB4、_________MPMNQPNQ5、练习2：例1已知向量a,b,c,求作向量a-b+c.abc,,OOAaOBbBAab解在平面上任取一点，作作则。ＯＢＡ,BCcBABCBADCBDBABCabc再作并以和为邻边作则。CD练习:如图：平行四边形ABCD中,用表示向量ABCD,aAB,bADba,.,DBACbaACab;由向量的减法可得，.DBABADab解：由向量加法的平行四边形法则，得例2已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|.则为邻边作和以作设解ABCD，ADABbADaAB,,ADBabCbaDBbaAC,则||||||||DBACbabaAB，ADABCD，ABCD为矩形所以四边形为平行四边形又因为四边形10||||1086||||||2222babaDBDBDB练习:如图：平行四边形ABCD中,用表示向量ABCD变式二:在本例中,当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|?变式三:在本例中,a+b与a-b有可能相等吗?变式一:在本例中,当a,b满足什么条件时,a+b与a-b相互垂直?,aAB,bADba,.,DBACbaACab;由向量的减法可得，.DBABADab解：由向量加法的平行四边形法则，得（|a|=|b|）（a，b互相垂直）（不可能，∵对角线方向不同）1.ΔABC中,BC=a,CA=b,则,AB=()A.a+bB.–(a+b)C.a-bD.b-a2．已知向量a，b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°.则|a＋b|＝，|a－b|＝.思想方法类与数形结合的数学、思想方法：转化、分的终点的向量的终点指向向量就可以表示为从向量，的两个向量从同一点出发作法、一个作法：差向量的和向量减法的定义、两个定义：相反向量本课小结：3.,:21abbaba(1)将两向量移到共同起点(2)连接两向量的终点,方向指向被减向量注意与作和向量的区别