连续时间系统的复频域分析

第五章连续时间系统的复频域分析Charter5：Pluralfrequencydomainanalysisforcontinuous-timesystem第五章连续时间系统的复频域分析Pluralfrequencydomainanalysisforcontinuous-timesystem本章目录Pluralfrequencydomainanalysisforcontinuoustimesystem本章目录拉普拉斯变换拉普拉斯变换的收敛区拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯反变换线性系统的拉普拉斯变换分析法线统阶跃信号作用于RLC串联电路的响应线性系统的模拟线性系统的模拟信号流图51引言5.1引言由第四章的学习，我们知道连续时间系统的频域分析为：[()]()()ettEjF1[()]()()RjRjF()Hj[()]()()etetEjF[()]()()RjRjrtF()Hj系统的零状态响应频域分析法的缺点：1、有些的傅立叶变换不存在；et2、傅立叶分析求逆变换的过程比较繁琐。5.2拉普拉斯变换LaplaceTransformLaplaceTransform一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换当函数满足绝对可积条件时，()ft()ftdt其傅立叶变换积分式()()jtFjftedt收敛()()Fjftedt收敛我们说信号的傅立叶变换存在。()ft我们说信号的傅叶变换存在()flim()0tft即：当时，不存在傅立叶变换。()ftt或但若（为实数）收敛，lim()ttfte或t或即：()tftedt则满足绝对可积条件它的傅立叶变换为()tft——称为收敛因子te则满足绝对可积条件，它的傅立叶变换为：()tfte()[()]()()()ttjtjtFftefteedtftedtFj[()]()()()ftefteedtftedtj令，则上式为sj()()stdFsftedt——衰减因子——振荡因子因积分区间包含着时间轴的左右两边，故称()dFs为信号的双边拉普拉斯变换，或称像函数。()ft()tfte的反傅立叶变换为：1()()2tjtdfteFsed1()()()22tjtjtddeftFsedFsed,sjdsjd由1()()2jstdjftFsedsj得2jj称为的双边拉普拉斯逆变换，或称原函数。()dFs()ft()()stdFsftedt双边拉普拉斯1()()2jstdjftFsedsj变换对dFsLft即：1dftLFs即其变换与逆变换的关系也记作其变换与逆变换的关系也记作：ftFsLaplace变换重新选取函数空间的基底，以衰减振荡函数集为基底构成函数空间用来展开信号jte集为基底构成函数空间，用来展开信号。jetheunilateralLaplacetransform二、单边拉普拉斯变换若时，，则称为有始信号，0t()0ft()ft而电信号中大都为有始信号所以我们来讨论单边拉而电信号中大都为有始信号，所以我们来讨论单边拉普拉斯变换，并把它定义为一般意义上的拉普拉斯变换，简称为拉氏变换换，简称为拉氏变换。定义：拉氏正变换0()()stFsftedt－拉氏反变换1()()02jstjftFsedstj2jj说明：说明：(1)是复参量，ssj()是以为自变量的复变函数。s()Fs(2)积分下限定为，是为了适应激励与响应中在原点0存在有冲激函数或其各阶导数的情况。(3)是有始函数。()ft()是有始函数()ft(4)的拉氏变换存在的充分条件：必须满足绝对可积的条件()ft()tfte必须满足绝对可积的条件，即0()tftedt()fte通常在电路分析中所遇到的时间函数都满足上述条件0(5)拉氏正反变换的简记形式：()[()]FsLft条件1()[()]()[()]FsLftftLFs()()ftFs即：dtedtettLtLstst)()]([)]([1解、求例dtedtettLst11)()]([00解：sesst110)]([2tL、求例1)()]([)]([20dtettLtLst解：、求例3[]1Ltt例、求001[]0stststttLttedteedtss解：21100stesss5.3拉普拉斯变换的收敛区ROC(regionofconvergence)oftheLaplacetransformROC(regionofconvergence)oftheLaplacetransform使满足绝对可积条件的值的范围称()tfte收敛区：使满足绝对可积条件的值的范围称为收敛区，在收敛区内，的拉氏变换存在，在收敛区外，的拉氏变换不存在。()fte()ft()ft收敛区：区外，的拉氏变换不存在f通常要求是指数阶函数且具有分段连续的性质()ft通常要求是指数阶函数且具有分段连续的性质。()ft指数阶函数若正常数使得在范围()tf指数阶函数：若正常数，使得在范围内，对所有大于定值的时间均为有界，0()tfte0Tt且则称为的指数阶函数。0lim()0,ttfte()ft0分段连续：指除有限个间断点外函数是连续的，而()ft为的收敛条件Lft分段续指除有个间断点函数是续的，时间由间断点两侧趋于间断点时有有限的极限值。()ft由以上分析可知由的数值可将平面划分为两个区域：0s0为的收敛条件。Lft由以上分析可知，由的数值可将平面划分为两个区域：0sj平面sj收敛轴收平面0敛区0()()limlistttje例4、求，并讨论收敛域。[()]tLet解：()[()]()ttststLetetedtedt()limtjtee解00()()[()]()11[1lim]ststLetetedtedtee0[1lim]()teess当时，则此时收敛()lim0ste0()()stFsftedt当时则此时收敛0te0()()f，收敛域为：1[()]()tLetFssj收敛轴收敛轴j收0收敛轴收敛区收敛轴0收敛区讨论：讨论：(1)单个脉冲信号(有界的非周期信号)的拉氏变换一定存在。且其收敛坐标为，收敛区为整个平面。0s(2)单位阶跃信号(2)单位阶跃信号tlim[()]00tte所以单位阶跃函数的收敛区由给出，为平面的右半平面。0s为平面的右半平面。s(3)指数函数ate我们主要讨论单边拉氏变换，其收敛区必定存在，故收敛区为：a我们主要讨论单边拉氏变换，其收敛区必定存在，故不再讨论是否收敛的问题。微分方程的)(tf的代数方程)]([)(tfLsF)0(f起始条件拉氏变换微分方程时域法代数求解)(tf)(sF逆变换查表st1)(记三对关系ts11)(set15.6拉普拉斯变换的基本性质PropertiesofLaplacetransformPropertiesofLaplacetransform一、线性性质若11[()]()LftFs，22[()](),LftFs1Re[]s2Re[]s则1212[()()]()()LAftBftAFsBFs其中为实常数其ROC至少是二函数ROC的相重叠部分AB[()](),f2[]其中为实常数。其ROC至少是二函数ROC的相重叠部分。AB、例1、求[cos]Lt111解：1[cos][()]2jtjtLtLee11[][]22jtjtLeLe1111s111122sjsj22ss同理：[sin]Lt22s二、尺度变换若则0Re[]LftFss10[()]()R[]sLfF时则00[()](),Re[]aLfatFsaaa时，三时间平移三、时间平移若[()]()LftFs0Re[]s则[()]()f000[()()]()stLftttteFs0[]0Re[]s)(tf例2、求图示波形的拉普拉斯变换解：()[()()]EfTE)(tf解：()[()()]fttttTT()()()EEfT0t[()][()][()]EELftLttLttTTT1EE注意21[()][()()()]EELftLtTtTTtTTsT111EE0()()fttt注意22111sTsTEEeEeTsTssE000()()()()ftttftttt2[1]sTsTEeTseTsE()()f2[11]sTETseTs∆有始周期函数的拉普拉斯变换∆有始周期函数的拉普拉斯变换有始周期函数：时呈现周期性质的函数，在范围内函数为零。0t0t设为有始周期函数，其周期为，而…分别表示函数的第一周期，第二周期，…的函数，则可写为：ftT12,ftftft函数的第周期，第二周期，…的函数，则可写为：ft123ftftftft11122ftftTtTftTtT由拉氏变换的时间平移特性并设LftFs由拉氏变换的时间平移特性,并设2111sTsTLftFsFseFse11LftFs则111f211sTsTFsee11sTFse四、频率平移0Re[]LftFss0Re[]Re[]stLfteFssss若则000Re[]Re[]LfteFssss则例3、求[cos]tLet22cossts解：由得22[cos]tsLets同理由22sints得得22[sin]tLets五、时域微分性质若则[()]()LftFs0Re[]s()[]()(0)dftLsFsf则[]()(0)LsFsfdt112[()]()(0)(0)(0)nnnnnLftsFssfsff其ROC至少是0Re[]s例4、求[sin]Lt例4、求[sin]Lt解：1[sin][(cos)]LtLt221(1)sss22s22s例5、求图示RL串联电路的电流响应。dit)(tiH2解：列回路方程243()ditittdt方程两边取拉氏变换3Vt)(34方程两边取拉氏变换32[()(0)]4()sIsiIss代入已知条件并整理得Ai5)0(3310()(24)10sIssss代入已知条件并整理得310155310()2(2)sIsss1.55(2)2sss0.750.75522sss0.754.252ss)(25.4)(75.0)]([)(21tetsILtit故六、时域积分